Question

△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B,C重合),△ADE是以AD为一边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交射线AB,AC于点F,G,连接BE.

(1)如图(a)所示,当点D在线段BC上时.

①求证:△AEB≌△ADC.

②探究四边形BCGE是怎样的特殊四边形?并说明理由.

(2)如图(b)所示,当点D在BC的延长线上时,直接写出(1)中的两个结论是否成立.

(3)在(2)的情况下,当点D运动到什么位置时,四边形BCGE是菱形?并说明理由.

Answer 1

【解析】(1)①∵△ABC和△ADE都是等边三角形,

∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°.

又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD,∠DAC=∠BAC-∠BAD,∴∠EAB=∠DAC,

∴△AEB≌△ADC.

②四边形BCGE是平行四边形,

理由:由①得△AEB≌△ADC,∴∠ABE=∠C=60°.

又∵∠BAC=∠C=60°,∴∠ABE=∠BAC,

∴EB∥GC.又∵EG∥BC,

∴四边形BCGE是平行四边形.

(2)①②都成立.

(3)当CD=CB(∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°)时,四边形BCGE是菱形.

理由:由①得△AEB≌△ADC,∴BE=CD.

又∵CD=CB,∴BE=CB.

由②得四边形BCGE是平行四边形,

∴四边形BCGE是菱形.