【题目】综合与探究:
如图1,抛物线与轴交于两点(点在点的左侧),顶点为,为对称轴右侧抛物线的一个动点,直线与轴于点,过点作,交轴于点.
(1)求直线的函数表达式及点的坐标;
(2)如图2,当轴时,将以每秒1个单位长度的速度沿轴的正方向平移,当点与点重合时停止平移.设平移秒时,在平移过程中与四边形重叠部分的面积为,求关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)如图3,过点作轴的平行线,交直线于点,直线与交于点,设点的横坐标为.
①当时,求的值;
②试探究点在运动过程中,是否存在值,使四边形是菱形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),;(2)当时,;当时,;(3)①或,②
【解析】
(1)先通过抛物线函数关系式求出与x轴的两个交点A、B的坐标以及顶点D的坐标,再利用待定系数可求得直线AD的函数表达式,令x=0,即可求得点C的坐标;
(2)先求出点P坐标,通过平移可求得,从而可得OF的长为,当时,重叠部分为△AOC,求出△AOC的面积即可,当时,平移秒到的位置,交于点,如图,重叠部分为四边形,根据结合相似三角形的性质可表示出的长,再根据四边形的面积=的面积-的面积即可求出关于的函数关系式;
(3)①过点作轴于点,交于点,利用点P、D的坐标表示出DN、NQ的长,再根据平行得,结合列出方程求解即可;
②当点P在第一象限时,过点P作PG⊥x轴于点G,易证△PGF∽△COA,故可设PG=4k,FG=3k,由勾股定理得PF=5k,由菱形得AF=PF=5k,故可表示出点P坐标,将点P坐标代入抛物线函数关系式列出方程求解即可,当点P在第四象限时,同理可得点P坐标.
解:(1),
当时,,解得,
∵点在点的左侧,
∴,
∵,即,
∴,
设直线的函数表达式为,
∵直线过点,
∴,解得,
∴,
当时,,
∴.
(2)当时,,
解得:,
∵点在抛物线对称轴的右侧,
∴ ,
∴,
∴,
当时,
,
当时,平移秒到的位置,交于点,如图,
则,
∵,
∴,
又∵,
∴,
∴,即,
∴,
∴
=
.
综上所述,当时,;
当时,;
(3)①如图,过点作轴于点,交于点.
∵点的横坐标为,
∴,
∵,
∴,
,
∵轴,
∴,
当时,,
∴,即,
当时,
,
∵点在抛物线对称轴的右侧,
∴;
当时,
,
∵点在抛物线对称轴的右侧,
∴,
综上所述,或,
②如图,当点P在第一象限时,过点P作PG⊥x轴于点G,
∵PF∥AC,
∴∠PFG=∠CAO
又∵∠PGF=∠COA=90°,
∴△PGF∽△COA,
∴,
∴,
∴,
∴设PG=4k,FG=3k,则PF=5k,
∵四边形是菱形
∴AF=PF=5k,
又∵点A(-2,0),
∴点P(-2+8k,4k)
∵点P在抛物线的图像上,
∴,
整理得
解得(舍去)
∴
∴点P的坐标为,
如图,当点P在第四象限时,过点P作PK⊥x轴于点K,
∵PF∥AC,
∴∠PFK=∠CAO,
又∵∠PKF=∠COA=90°,
∴△PKF∽△COA,
∴,
∴,
∴,
∴设PK=4a,FK=3a,则PF=5a,
∵四边形是菱形
∴AF=PF=5a,
又∵点A(-2,0),
∴点P(-2+2a,-4a)
∵点P在抛物线的图像上,
∴,
整理得
解得(舍去)
∴
∴点P的坐标为,
综上所述,存在,使四边形是菱形,此时点的坐标为.
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【题目】如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,则下列结论:①4a﹣2b+c>0;②3a+b>0;③b2=4a(c﹣n);④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个互异实根.其中正确结论的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】(12分)如图,大楼AN上悬挂一条幅AB,小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°,沿坡面向下走到坡脚E处,然后向大楼方向继续行走10米来到C处,测得条幅的底部B的仰角为45°,此时小颖距大楼底端N处20米.已知坡面DE=20米,山坡的坡度i=1:(即tan∠DEM=1:),且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内,E、C、N在同一条直线上,求条幅的长度(结果精确到1米)(参考数据:≈1.73,≈1.41)
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=4,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,点P是AB的延长线上一点,且∠PDB=∠A,连接DE,OE.
(1)求证:PD是⊙O的切线.
(2)填空:①当∠P的度数为______时,四边形OBDE是菱形;
②当∠BAC=45°时,△CDE的面积为_________.
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【题目】如图,已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于两点,一次函数的图象与轴交于点.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)当为何值时,?
(3)已知点,过点作轴的平行线,在第一象限内交一次函数的图象于点,交反比例函数的图象于点.结合函数图象直接写出当时的取值范围.
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【题目】如图,在△ABC和△DCB中,AB=DC,∠A=∠D,AC、DB交于点M.
(1)求证:△ABC≌△DCB;
(2)作CN∥BD,BN∥AC,CN交BN于点N,四边形BNCM是什么四边形?请证明你的结论.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,EF,EB是⊙O的弦,且EF=EB,EF与AB交于点C,连接OF,若∠AOF=40°,则∠F的度数是( )
A.20°B.35°C.40°D.55°
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【题目】下列说法正确的是 ( )
A.要调查现在人们在数学化时代的生活方式,宜采用普查方式
B.一组数据3,4,4,6,8,5的中位数是4
C.必然事件的概率是100%,随机事件的概率大于0而小于1
D.若甲组数据的方差=0.128,乙组数据的方差=0.036,则甲组数据更稳定
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