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几何课本第三册复习题七中有这样一道几何题:以Rt△ABC的直角边AC为直径作圆,精英家教网交斜边AB于点D,过点D作圆的切线.求证:这条切线平分另一条直角边BC.(不必证明)
现将上述习题改变成如下问题,请你解答:
如图,以Rt△ABC的直角边AC为直径作⊙O,交斜边AB于点D,E为BC边的中点,连DE.
(1)判断DE是否为⊙O的切线,并证明你的结论.
(2)当AD:DB=9:16时,DE=8cm时,求⊙O的半径R.
分析:(1)连接OE,OD,根据全等三角形的判定,易得△OEC≌Rt△ODC,进而可得∠ODC=∠OCE=90°,故DE是⊙O的切线.
(2)设AD=9x(x>O),BD=16x,根据切割线定理可得关系式,代入数据可得关于x的方程,解可得答案.
解答:精英家教网解:(1)DE是⊙O的切线,
证明:连接OE,OD;
∵在Rt△CDB,E为BC边的中点,
∴CE=DE.
∵OD=OC,OE是公共边,
∴△OEC≌Rt△ODC.
∴∠ODC=∠OCE=90°.
∴DE是⊙O的切线.

(2)设AD=9x(x>0),BD=16x,
由切割线定理有BC2=BD•AB,
∴x=
4
5
(负值舍去).
∴AB=20,AC=12.
∴⊙O的半径R=6(cm).
点评:本题考查切线的判定,线段长度的求法,要求学生掌握常见的解题方法,并能结合图形选择简单的方法解题.
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