Question

14．已知：如图，O为平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙B经过点O，且与x，y轴分别交于点A，C，点A的坐标为（-$\sqrt{3}$，0），AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D．
（1）求OC的长和∠CAO的度数；
（2）求过D点的反比例函数的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理AC是⊙B的直径，得到根据勾股定理求出OC，根据正弦的概念求出∠CAO的度数；
（2）根据三角形的外角的性质求出∠DOE=60°，求出点D的坐标，代入计算即可．

解答 解：（1）∵∠AOC=90°，
∴AC是⊙B的直径，
∴AC=2，
∵点A的坐标为（-$\sqrt{3}$，0），
∴OA=$\sqrt{3}$，
∴OC=$\sqrt{A{C}^{2}-O{A}^{2}}$=1，
则OC=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠CAO=30°；

（2）连接OB，作DE⊥x轴于E，
∵BA=BO，
∴∠ODA=∠CAO=30°，
∴∠DOE=∠CAO+∠ODA=60°，OD=OA=$\sqrt{3}$，
∵OD为⊙B的切线，
∴OB⊥OD，
∴OE=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OD=$\frac{3}{2}$，
则点D的坐标为：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴过D点的反比例函数的表达式为：y=$\frac{3\sqrt{3}}{4x}$．

点评 本题考查的是切线的性质、反比例函数解析式的确定、勾股定理的应用以及锐角三角函数的概念，掌握切线的性质定理、正确求出点D的坐标是解题的关键．