Question

11．如图，O是等边△ABC内的一点，已知∠AOB=110°，∠COD=60°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）若α=150°，试判定△AOD的形状，并说明理由；
（3）当△AOD是等腰三角形时，试求出α的度数．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得到CO=CD，∠OCD=60°，然后根据等边三角形的判定方法即可得到△COD是等边三角形；
（2）根据旋转的性质得到∠ADC=∠BOC=α=150°，再利用△COD是等边三角形得∠CDO=60°，于是可计算出∠ADO=90°，由此可判断△AOD是直角三角形；
（3）先利用α表示出∠ADO=α-60°，∠AOD=190°-α，再进行分类讨论：当∠AOD=∠ADO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α=α-60°；当∠AOD=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即2（190°-α）+α-60°=180°；当∠ADO=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α+2（α-60°）=180°，然后分别解方程求出对应的α的值即可．

解答 （1）证明：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形；
 （2）解：
∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=90°，
∴△AOD是直角三角形；
（3）解：
∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=∠COD=60°，
∴∠ADO=α-60°，∠AOD=360°-60°-110°-α=190°-α，
当∠AOD=∠ADO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α=α-60°，解得α=125°；
当∠AOD=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即2（190°-α）+α-60°=180°，解得α=140°；
当∠ADO=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α+2（α-60°）=180°，解得α=110°，
综上所述，∠BOC的度数为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质．