Question

20．如图，在平行四边形ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE=12，CE=5，则平行四边形ABCD的周长是39．

Answer 1

分析 根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形ABE和等腰三角形CDE和直角三角形BCE．根据直角三角形的勾股定理得到BC=13．根据等腰三角形的性质得到AB=CD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC=6.5，从而求得该平行四边形的周长．

解答 解：如图所示：
∵BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，
∴∠1=∠3=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCE=∠BCE=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠2=∠3，∠BCE=∠CED，∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠1=∠2，∠DCE=∠CED，∠3+∠BCE=90°，
∴AB=AE，CD=DE，∠BEC=90°，
在直角三角形BCE中，根据勾股定理得：BC=$\sqrt{{BE}^{2}+C{E}^{2}}$=13，
根据平行四边形的对边相等，得到：AB=CD，AD=BC，
∴平行四边形的周长=AB+BC+CD+AD=6.5+13+6.5+13=39．
故答案为：39．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．