Question

如图，已知直线MA交⊙O于A、B两点，BC是⊙O的直径，点D在⊙O上，且BD平分∠MBC，过D作DE⊥MA，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE+BE=12，⊙O的直径是20，求AB和BD的长．

Answer 1

解：（1）连接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BD平分∠MBC，
∴∠EBD=∠OBD，
∴∠ODB=∠EBD，
∵DE⊥MA，
∴∠DEB=90°，即∠EBD+∠EDB=90°，
∴∠ODB+∠EDB=90°，即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）连接CD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CDB=90°，
∴∠CDB=∠DEB，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠EDB=∠DCB，
∴△BDE∽△BCD，
∴=，即DB²=EB•BC，
∵DE+BE=12，⊙O的直径是20，
∴BE=x，DE=12-x，DB=，
∴x²+（12-x）²=20x，即x²-22x+72=0，
解得：x=4或x=18（舍去），
∴DB=4，
过O作OF⊥AB，可得出AF=BF=AB，
∵OF=DE=8，OB=10，
∴根据勾股定理得：BF==6，
则AB=2BF=12．
分析：（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由BD为角平分线得到一对角相等，等量代换得到∠ODB=∠EBD，由∠DEB为直角，得到直角三角形DBE中两锐角互余，等量代换及垂直的定义得到OD垂直于DE，可得出DE是圆O的切线；
（2）连接CD，由BC为圆的直径，得到∠CDB为直角，确定出一对直角相等，根据BD为角平分线得到一对角相等，得到三角形DBE与三角形CBD相似，由相似得比例，列出比例式，设EB=x，得到DE=12-x，利用勾股定理表示出DB，再由BC=20，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出DB的长，过O作OF垂直于AB，利用垂径定理得到F为AB的中点，在直角三角形OBF中，利用勾股定理求出BF的长，即可确定出AB的长．
点评：此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，利用了方程的思想，是一道综合性较强的试题，熟练掌握切线的判定方法是解本题第二问的关键．