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3.己知:如图1.正方形ABCD,过点A作∠EAF=90°,两边分别交直线BC于点E,交线段CD于点F,G为AE中点,连接BG
(1)求证:∠AFD+∠CBG=180°;
(2)如图2,过点G作BG的垂线交对角线AC于点H,求证:GH=GB;
(3)如图3,连接HF,若CH=3AH,AD=2$\sqrt{10}$,求线段HF的长.

分析 (1)如图1中,由△ABE≌△ADF,推出∠AFD=∠E,由AG=GE,推出GB=GE=GA,推出∠E=∠GBE=∠AFD,由∠GBE+∠GBC=180°,推出∠AFD+∠GBC=180°即可;
(2)如图2中,连接BD交AC于O,连接OG、BH、取BH的中点K,连接GK、OK.只要证明O、H、G、B四点共圆,由AG=GE,AO=OC.推出OG∥CE,推出∠GOB=∠OBC=45°,即可解决问题;
(3)如图3中,如图3中,设OG交AB于T,GH交AB于P.,作HM⊥DF于M.只要证明∠EAB=∠GBP=∠PGT=∠HBO,推出tan∠EAB=tan∠HBO=$\frac{HO}{OB}$,由CH=3AH,OA=OC=OB,推出tan∠EAB=tan∠HBO=$\frac{HO}{OB}$=$\frac{1}{2}$,BE=DF=$\sqrt{10}$,在RtHMF中,利用勾股定理即可解决问题;

解答 (1)证明:如图1中,

∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=∠AEF=90°,
∴∠EAB=∠DAF,
∵∠ABE=∠ADF=90°,
∴△ABE≌△ADF,
∴∠AFD=∠E,
∵AG=GE,
∴GB=GE=GA,
∴∠E=∠GBE=∠AFD,
∵∠GBE+∠GBC=180°,
∴∠AFD+∠GBC=180°.

(2)证明:如图2中,连接BD交AC于O,连接OG、BH、取BH的中点K,连接GK、OK.

∵∠BGH=∠BOH=90°,BK=KH,
∴GK=KH=OK=KB,
∴O、H、G、B四点共圆,
∵AG=GE,AO=OC.
∴OG∥CE,
∴∠GOB=∠OBC=45°,
∴∠GOH=∠GBH=45°,∵∠BGH=90°,
∴∠GBH=∠GHB=45°,
∴GH=GB.

(3)解:如图3中,如图3中,设OG交AB于T,GH交AB于P.,作HM⊥DF于M.

∵OG∥EC,
AB⊥CE,
∴OG⊥AB,
易证∠EAB=∠GBP=∠PGT=∠HBO,
∴tan∠EAB=tan∠HBO=$\frac{HO}{OB}$,
∵CH=3AH,OA=OC=OB,
∴tan∠EAB=tan∠HBO=$\frac{HO}{OB}$=$\frac{1}{2}$,
∵AB=AD=2$\sqrt{10}$,
∴BE=DF=$\sqrt{10}$,
在Rt△HMF中,易证FM=$\frac{\sqrt{10}}{2}$,HM=$\frac{3}{2}$$\sqrt{10}$,
∴HF=$\sqrt{H{M}^{2}+F{M}^{2}}$=5.

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆、三角形的中位线定理、锐角三角函数等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题,属于中考压轴题.

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13.【探究】
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(1)若△ABC与正方形CDEF的位置如图1所示,试猜想BD、AF的位置关系,请直接写出结论:BD⊥AF;
(2)若将正方形CDEF绕点C顺时针旋转到图2所示的位置,(1)中的结论是否成立?并说明理由.
【拓展】
如图3,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=5,四边形CDEF为矩形,CD=1,CF=$\sqrt{3}$,若将矩形CDEF绕点C顺时针旋转到图4所示的位置,连接BD,AF交于点G,若∠DBC=15°,求AG的值.

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