Question

（2012•南湖区二模）在特殊四边形的复习课上，王老师出了这样一道题：
如图1，在?ABCD中，E、F、G、H分别为AB，BC，CD，DA边上的动点，连接EG，HF相交于点O，且∠HOE=∠ADC，若AB=a，AD=b，试探究：EG与FH的数量关系．
经过小组讨论后，小聪建议分以下三步进行，请你解答：
（1）特殊情况，探索结论
当?ABCD是边长为a的正方形时（如图2），请写出EG与FH的数量关系（不必证明）；
（2）尝试变题，再探思路
当?ABCD是边长为a的菱形时（如图3），EG与FH又有怎样的数量关系呢？
小聪想：要求EG与FH的数量关系，就要构成全等三角形或相似三角形，于是，分别过点G、H作GM⊥AB于点M，HN⊥BC于点N，在△HNF和△GME中，有∠GME=∠HNF=Rt∠，由菱形面积与性质可得GM=HN，能否从已知条件得到∠MGE=∠NHF呢？请你根据小聪的思路完成解答过程；
（3）特例启发，解答题目
猜想：原题中EG与FH的数量关系是

EG

FH

=

b

a

，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，求出GM=HN，求出∠GME=∠HNF=90°，∠GEM=∠HFN，证出△GME≌△HNF即可；
（2）过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，根据菱形面积公式求出GM=HN，求出∠GME=∠HNF=90°，∠GEM=∠HFN，证出△GME≌△HNF即可；
（3）过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，根据平行四边形面积公式求出

GM

HN

=

BC

AB

=

b

a

，求出∠GME=∠HNF=90°，∠GEM=∠HFN，证出△GME∽△HNF即可．

解答：（1）解：EG=FH，
理由是：过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=AB，AD∥BC，DC∥AB，AD=BC，∠D=∠A=∠B=∠C=90°，
∴GM∥AD∥BC，HN∥DC∥AB，
∴四边形ADGM、四边形GMBC、四边形AHNB，四边形DCNH是平行四边形，
∴DC=HN=AB，AD=GM=BC，
∴HN=GM，
∵∠ADC=∠HOE=90°，
∴∠DHO+∠DGE=360°-90°-90°=180°，
∵AD∥BC，DC∥AB，
∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，
∴∠HFN=∠GEM，
∵HN⊥BC，GM⊥AB，
∴∠GME=∠HNF=90°，
在△GME和△HNF中

∠GEM=∠HFN ∠GME=∠HNF GM=HN

∴△GME≌△HNF（AAS），
∴EG=FH；

（2）EG=FH，
理由是：过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=AB=BC，AD∥BC，DC∥AB，
∵菱形ABCD的面积S=AB×GM=BC×HN，
∴GM=HN，
∵GM⊥AB，HN⊥BC，
∴∠GME=∠HNF=90°，
∵∠ADC=∠HOE，
∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°，
∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°，
∵AD∥BC，DC∥AB，
∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，
∴∠HFN=∠GEM，
在△GME和△HNF中

∠GEM=∠HFN ∠GME=∠HNF GM=HN

∴△GME≌△HNF（AAS），
∴EG=FH．
（3）

EG

FH

=

b

a

，
理由是：过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∵平行四边形ABCD的面积S=AB×GM=BC×HN，
∵AB=a，AD=b，
∴

GM

HN

=

b

a

，
∵GM⊥AB，HN⊥BC，
∴∠GME=∠HNF=90°，
∵∠ADC=∠HOE，
∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°，
∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°，
∵AD∥BC，DC∥AB，
∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，
∴∠HFN=∠GEM，
∴△GME∽△HNF，
∴

EG

FH

=

GM

HN

=

b

a

，
故答案为：

EG

FH

=

b

a

．

点评：本题考查了正方形性质，平行四边形性质，菱形性质，面积公式，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，题目具有一定的代表性，证明过程类似．