Question

10．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，求BM的长．

Answer 1

分析 （1）过O作ON⊥CD于N，然后证ON的长等于⊙O的半径即可；连接OM，根据正方形和角平分线的性质，证OM=ON即可．
（2）若正方形的边长为1，则对角线AC的长为$\sqrt{2}$，可用⊙O的半径表示出OA、OM、OC的长，然后根据AC的长度求出⊙O的半径，即可求出BM的长．

解答 （1）CD与⊙O相切，
证明：过O作ON⊥CD于N，连接OM，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=90°，AB∥CD，
∴AB∥OM∥DC，
∵AC为正方形ABCD对角线，
∴∠NOC=∠NCO=∠MOC=∠MCO=45°，
∵OM=ON，
∴CD与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为R，则OM=R．
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC=$\sqrt{2}$，OC=$\sqrt{2}$-R．
在Rt△OMC中，
∵sin∠OCM=$\frac{OM}{OC}$，
∴sin45°=$\frac{R}{\sqrt{2}}$，
解得R=2-$\sqrt{2}$，
∴BM=1-（2-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$-1．

点评 此题考查了正方形的性质、切线的判定，三角函数，解题的关键是正方形的边长、对角线、圆的半径之间的关系．