分析 (1)过O作ON⊥CD于N,然后证ON的长等于⊙O的半径即可;连接OM,根据正方形和角平分线的性质,证OM=ON即可.
(2)若正方形的边长为1,则对角线AC的长为$\sqrt{2}$,可用⊙O的半径表示出OA、OM、OC的长,然后根据AC的长度求出⊙O的半径,即可求出BM的长.
解答 (1)CD与⊙O相切,
证明:过O作ON⊥CD于N,连接OM,
∵⊙O与BC相切于点M,
∴OM⊥BC,
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠B=90°,AB∥CD,
∴AB∥OM∥DC,
∵AC为正方形ABCD对角线,
∴∠NOC=∠NCO=∠MOC=∠MCO=45°,
∵OM=ON,
∴CD与⊙O相切;
(2)解:设⊙O的半径为R,则OM=R.
∵正方形ABCD的边长为1,
∴AC=$\sqrt{2}$,OC=$\sqrt{2}$-R.
在Rt△OMC中,
∵sin∠OCM=$\frac{OM}{OC}$,
∴sin45°=$\frac{R}{\sqrt{2}}$,
解得R=2-$\sqrt{2}$,
∴BM=1-(2-$\sqrt{2}$)=$\sqrt{2}$-1.
点评 此题考查了正方形的性质、切线的判定,三角函数,解题的关键是正方形的边长、对角线、圆的半径之间的关系.
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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