Question

19．关于x的方程kx²+（k+2）x+$\frac{k}{4}$=0有两个不相等的实数根
（1）求k的取值范围；
（2）当k=4时方程的两根分别为x₁、x₂，直接写出x₁+x₂，x₁x₂的值；
（3）是否存在实数k使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到k≠0且△=（k+2）²-4k•$\frac{k}{4}$＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可；
（2）先写出k=4的方程，然后根据根与系数的关系求解；
（3）假设存在实数k使方程的两个实数根的倒数和等于0，利用根与系数的关系得出x₁+x₂=-$\frac{k+2}{k}$，x₁x₂=$\frac{1}{4}$，利用两个实数根的倒数和等于0，得出方程的解，结合k的取值范围判定即可．

解答 解：（1）根据题意得k≠0且△=（k+2）²-4k•$\frac{k}{4}$＞0，
解得k＞-1且k≠0；
（2）当k=4时方程变形为4x²+6x+1=0，
所以出x₁+x₂=-$\frac{6}{4}$=-$\frac{3}{2}$，x₁x₂=$\frac{1}{4}$；
（3）不存在．
理由：假设存在实数k使方程的两个实数根的倒数和等于0，
∵x₁+x₂=-$\frac{k+2}{k}$，x₁x₂=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4（k+2）}{k}$=0，
解得：k=-2
∵k＞-1，
∴不存在实数k使方程的两个实数根的倒数和等于0．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．