Question

在平面直角坐标系中（单位长度：1cm），A、B两点的坐标分别为（-4，0），（2，0），点P从点A开始以2cm/s的速度沿折线AOy运动，同时点Q从点B开始以1cm/s的速度沿折线BOy运动．
（1）在运动开始后的每一时刻一定存在以点A、O、P为顶点的三角形和以点B、O、Q为顶点的三角形吗？如果存在，那么以点A、O、P为顶点的三角形和以点B、O、Q为顶点的三角形相似吗？以点A、O、P为顶点的三角形和以点B、O、Q为顶点的三角形会同时成为等腰直角三角形吗？请分别说明理由．
（2）试判断时，以点A为圆心，AP为半径的圆与以点B为圆心、BQ半径的圆的位置关系；除此之外⊙A与⊙B还有其他位置关系吗？如果有，请求出t的取值范围．
（3）请你选定某一时刻，求出经过三点A、B、P的抛物线的解析式．

Answer 1

解：（1）①不一定．例如：当t≤2s时，点A、O、P与点B、O、Q都不能构成三角形．
②当t＞2s时，即当点P、Q在y轴的正半轴上时，△AOP∽△BOQ．
这是因为：，，∠AOP=∠BOQ=90度．
③会成为等腰直角三角形．
这是因为：当OA=OQ=4时，OA+OQ=8，即当t=4s时，△AOP为等腰直角三角形．
同理可得，当t=4s时，△BOQ为等腰直角三角形．
（2）当t=（2+4）s时，OP=2（2+4）-4=8cm，
∴AP==12（cm），
同理可得BQ=6cm，
∴AB=AP-BQ，
∴此时⊙A与⊙B内切．
②有．当外离时，0＜t＜2；
当外切时，t=2；
当相交时，2＜t＜2+4；
当内含时，t＞2．
（3）当t=3s时，OP=2×3-4=2（cm），此时点P的坐标为（0，2），
设经过点A、B、P的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
则
解得
故所求解析式为y=-x²-x+2．
分析：（1）①当P、Q在y轴运动时，才能够成△AOP和△BOQ，因此当t≤2时，构不成三角形．当t＞2时，可构成以点A、O、P为顶点的三角形和以点B、O、Q为顶点的三角形．
两三角形相似，这两个三角形中，已知了一组直角，而通过计算不难的这两个直角三角形的直角边也对应成比例，因此两三角形相似．
②由于两三角形相似，因此两者一定会同时成为等腰直角三角形，要使两三角形成为等腰直角三角形，以三角形OAP为例：OA=OP=4，因此t=4．即可当t=4s时，两三角形同时成为等腰直角三角形．
（2）①可计算出当t=2+4时AP，BQ的长即两圆的半径长，然后比较两圆的半径和圆心距即AB的距离即可判断出两圆的位置关系．
②同①可根据两圆的半径长即AP、BQ的长和圆心距AB的长来求出不同的圆与圆的位置关系时，t的取值范围．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定、圆与圆的位置关系、二次函数解析式的确定等知识．