Question

把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角扳ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角扳DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q。

（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD～△CDQ。此时，AP·CQ=______。
（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为a．其中 0°<a<90°，问AP·CQ的值是否改变？说明你的理由。
（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式。（图2，图3供解题用）

Answer 1

解：（1）8； （2）AP·CQ的值不会改变。 理由如下：在与中， ， ， ， 即， ， ， 。
（3）情形1：如图4，当时，，即， 此时两三角板重叠部分为四边形， 过D作于G，于N， ， 由（2）知：，即， 于是           ； 情形2：如图5，当时，即， 此时两三角板重叠部分为， 由于，， 易证：， 即， 解得：， ， 于是， 　综上所述，当时，； 当时，或。