Question

【题目】扫地机器人能够自主移动并作出反应，是因为它发射红外信号反射回接收器，机器人在打扫房间时，若碰到障碍物则发起警报．若某一房间内A、B两点之间有障碍物，现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A，B的坐标分别为(0，4)，(6，4)，机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动．若机器人在运动过程中只触发一次报警，则a的取值范围是_____．

Answer 1

【答案】﹣＜a＜

【解析】

根据题意可以知道抛物线与线段AB有一个交点，根据抛物线对称轴及其与y轴的交点即可求解．

解：由题意可知：

∵点A、B坐标分别为（0，4），（6，4），

∴线段AB的解析式为y＝4．

机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动．

抛物线对称轴方程为：x＝2，

机器人在运动过程中只触发一次报警，

所以抛物线与线段y＝4只有一个交点．

所以抛物线经过点A下方．

∴﹣5a＜4

解得a＞﹣．

4＝ax2﹣4ax﹣5a，

△＝0

即36a2+16a＝0，

解得a1＝0（不符合题意，舍去），a2＝．

当抛物线恰好经过点B时，

即当x＝6，y＝4时，

36a﹣24a﹣5a＝4，

解得a＝

综上：a的取值范围是﹣＜a＜