Question

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=

n

x

的图象相交于A（3，1）、B（m，-3）两点．
（1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）若经过点A、B的抛物线与y轴相交于点C，且△ABC的面积为12，求点C的坐标及此抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）将两点代入反比例函数解析式即可得出m和n的值，从而求出反比例函数的解析式和B点坐标，进而把A、B点的坐标代入一次函数y=kx+b的解析式，就可求出k、b的值；
（2）设C的坐标为（0，c），令一次函数解析式中的x=0求出y的值，确定出点D的坐标，由y轴把△ABC分成两部分△ACD和△BCD，都以|OD|为底，点A和点B点横坐标的绝对值为高，利用三角形的面积公式分别表示出△ACD和△BCD，两面积相加等于△ABC的面积即等于12列出关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值，从而得到点C的坐标，设出过A，B及C三点的抛物线解析式，将三点坐标代入得到关于a，b及c的三元一次方程组，求出方程组的解得到a，b及c的值，确定出抛物线的解析式．

解答：解：（1）把A（3，1）代入反比例解析式中得：n=3，
∴反比例解析式为y=

3

x

，
把B（m，-3）代入反比例解析式中得：m=-1，即B（-1，-3），
把A（3，1）和B（-1，-3）代入一次函数y=kx+b得：

3k+b=1① -k+b=-3②

，①-②得：4k=4，解得：k=1，
把k=1代入②得：-1+b=-3，解得：b=-2，
∴一次函数解析式为y=x-2；

（2）设点C坐标为（0，c），
令y=x-2中x=0，解得：y=-2，则点D（0，-2），
根据题意得：S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD，
即

1

2

|c+2|•3+

1

2

|c+2|•|-1|=12，
化简得：|c+2|=6，即c+2=6或c+2=-6，
解得：c=4或c=-8，
故C（0，4）或C（0，-8），又A（3，1），B（-1，-3），
设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，
当C（0，4）时，把三点坐标代入得：

9a+3b+c=1 a-b+c=-3 c=4

，
解得：

a=-2 b=5 c=4

；
当C（0，-8）时，把三点坐标代入得：

9a+3b+c=1 a-b+c=-3 c=-8

，
解得：

a= 7 5 b=- 18 5 c=-8

．
∴抛物线解析式为：y=-2x²+5x+4或y=

7

5

x2-

18

5

x-8．

点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及利用待定系数法求抛物线的解析式的方法，是一道中档题．学生在作第二问时注意利用y轴把△ABC的面积分成两部分△ACD和△BCD的面积相加．