如图,已知直线与抛物线相交于A,B两点,且点A(1,-4)为抛物线的顶点,点B在x轴上。
(1)求抛物线的解析式;
(2)在(1)中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P,使△POB与△POC全等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点Q是y轴上一点,且△ABQ为直角三角形,求点Q的坐标。
解:(1)把A(1,-4)代入,得k=2,∴。
令y=0,解得:x=3,∴B的坐标是(3,0)。
∵A为顶点,∴设抛物线的解析为。
把B(3,0)代入得:4a-4=0,解得a=1。
∴抛物线的解析式为即。
(2)存在。
∵OB=OC=3,OP=OP,∴当∠POB=∠POC时,△POB≌△POC。
此时PO平分第二象限,即PO的解析式为y=-x。
设P(m,-m),则,解得(,舍去)。
∴P(。
(3)①如图,当∠Q1AB=90°时,△DAQ1∽△DOB,
∴,即。∴。
∴,即。
②如图,当∠Q2BA=90°时,△BOQ2∽△DOB,
∴,即。
∴,即。
③如图,当∠AQ3B=90°时,作AE⊥y轴于E,则△BOQ3∽△Q3EA,
∴,即。
∴,解得OQ3=1或3,即Q3(0,-1),Q4(0,-3)。
综上,Q点坐标为或或(0,-1)或(0,-3)。
解析试题分析:(1)已知点A坐标可确定直线AB的解析式,进一步能求出点B的坐标.点A是抛物线的顶点,那么可以将抛物线的解析式设为顶点式,再代入点B的坐标,依据待定系数法可解。
(2)首先由抛物线的解析式求出点C的坐标,在△POB和△POC中,已知的条件是公共边OP,若OB与OC不相等,那么这两个三角形不能构成全等三角形;若OB等于OC,那么还要满足的条件为:∠POC=∠POB,各自去掉一个直角后容易发现,点P正好在第二象限的角平分线上,联立直线y=-x与抛物线的解析式,直接求交点坐标即可,同时还要注意点P在第二象限的限定条件。
(3)分别以A、B、Q为直角顶点,分类进行讨论,找出相关的相似三角形,依据对应线段成比例进行求解即可。
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数:y=-10x+500.
(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?(6分)
(2)如果李明想要每月获得2 000元的利润,那么销售单价应定为多少元?(3分)
(3)物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元,那么他每月的成本最少需要多少元?(成本=进价×销售量) (3分)
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔,物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个,根据以往经验:以12元/个的价格销售,平均每周销售签字笔100个;若每个签字笔的销售价格每提高1元,则平均每周少销售签字笔10个. 设销售价为x元/个.
(1)该文具店这种签字笔平均每周的销售量为 个(用含x的式子表示);
(2)求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w(元)与销售价x(元/个)之间的函数关系式;
(3)当x取何值时,该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大?最大利润是多少元?
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,已知抛物线(b,c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,﹣1),C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限.
(1)如图,若该抛物线过A,B两点,求该抛物线的函数表达式;
(2)平移(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上滑动,且与AC交于另一点Q.
(i)若点M在直线AC下方,且为平移前(1)中的抛物线上的点,当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时,求出所有符合条件的点M的坐标;
(ii)取BC的中点N,连接NP,BQ.试探究是否存在最大值?若存在,求出该最大值;若不存在,请说明理由.
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如图,已知抛物线与直线交于点O(0,0),。点B是抛物线上O,A之间的一个动点,过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C,E。
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)若点C为OA的中点,求BC的长;
(3)以BC,BE为边构造条形BCDE,设点D的坐标为(m,n),求m,n之间的关系式。
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如图,在直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+(2k﹣1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使△AOB的面积等于6,求点B的坐标;
(3)对于(2)中的点B,在此抛物线上是否存在点P,使∠POB=90°?若存在,求出点P的坐标,并求出△POB的面积;若不存在,请说明理由.
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如图,抛物线与x轴交于A(1,0)、B(﹣3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),设抛物线的顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标.
(2)试判断△BCD的形状,并说明理由.
(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,在平面直角坐标系中,顶点为(3,4)的抛物线交 y轴与A点,交x轴与B、C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,-5).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线与点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系,并给出证明.
(3)在抛物线上是否存在一点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形.若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
(2013年四川南充8分)如图,二次函数y=x2+bx-3b+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C,且经过点(b-2,2b2-5b-1).
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)⊙M过A、B、C三点,交y轴于另一点D,求点M的坐标;
(3)连接AM、DM,将∠AMD绕点M顺时针旋转,两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F,若△DMF为等腰三角形,求点E的坐标.
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