Question

7．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；
（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=$\frac{1}{2}$MN时，求菱形对角线MN的长．

Answer 1

分析 （1）由条件可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，进一步可求得D点坐标；
（2）过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FAG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；
（3）可求得P点坐标，设T为菱形对角线的交点，设出PT的长为n，从而可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可得到n的方程，可求得n的值，从而可求得MN的长．

解答 解：
（1）∵OB=OC=6，
∴B（6，0），C（0，-6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×{6}^{2}+6b+c=0}\\{c=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6，
∵y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6=$\frac{1}{2}$（x-2）²-8，
∴点D的坐标为（2，-8）；

（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，

设F（x，$\frac{1}{2}$x²-2x-6），则FG=|$\frac{1}{2}$x²-2x-6|，
在y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6中，令y=0可得$\frac{1}{2}$x²-2x-6=0，解得x=-2或x=6，
∴A（-2，0），
∴OA=2，则AG=x+2，
∵B（6，0），D（2，-8），
∴BE=6-2=4，DE=8，
当∠FAB=∠EDB时，且∠FGA=∠BED，
∴△FAG∽△BDE，
∴$\frac{FG}{BE}$=$\frac{AG}{DE}$，即$\frac{|\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-6|}{x+2}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
当点F在x轴上方时，则有$\frac{\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-6}{x+2}$=$\frac{1}{2}$，解得x=-2（舍去）或x=7，此进F点坐标为（7，$\frac{9}{2}$）；
当点F在x轴上方时，则有$\frac{\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-6}{x+2}$=-$\frac{1}{2}$，解得x=-2（舍去）或x=5，此进F点坐标为（5，-$\frac{7}{2}$）；
综上可知F点的坐标为（7，$\frac{9}{2}$）或（5，-$\frac{7}{2}$）；

（3）∵点P在x轴上，
∴由菱形的对称性可知P（2，0），
如图2，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点，

∵PQ=$\frac{1}{2}$MN，
∴MT=2PT，
设PT=n，则MT=2n，
∴M（2+2n，n），
∵M在抛物线上，
∴n=$\frac{1}{2}$（2+2n）²-2（2+2n）-6，解得n=$\frac{1+\sqrt{65}}{4}$或n=$\frac{1-\sqrt{65}}{4}$，
∴MN=2MT=4n=$\sqrt{65}$+1；
当MN在x轴下方时，同理可设PT=n，则M（2+2n，-n），
∴-n=$\frac{1}{2}$（2+2n）²-2（2+2n）-6，解得n=$\frac{-1+\sqrt{65}}{4}$或n=$\frac{-1-\sqrt{65}}{4}$（舍去），
∴MN=2MT=4n=$\sqrt{65}$-1；
综上可知菱形对角线MN的长为$\sqrt{65}$+1或$\sqrt{65}$-1．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、菱形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中证得△FAG∽△BDE，得到关于F点坐标的方程是解题的关键，注意分F点在x轴上方和下方两种情况，在（3）中用PT的长表示出M点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．