Question

6．如图，△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AC于E，AF⊥BE于H，交DE于F，
（1）求证：△ADF∽△BCE；
（2）若AB=AC，求证：DF=EF；
（3）在（2）的条件下，若∠EAF=30°，直接写出cos∠EBC的值．

Answer 1

分析 （1）根据垂直的定义和等角的余角相等可得到∠1=∠C，∠DAF=∠2，然后根据相似三角形的判定方法即可得到结论；
（2）如图2，先证明Rt△CDE∽Rt△CAD得到$\frac{DE}{AD}$=$\frac{CE}{CD}$，则DE=$\frac{AD•CE}{CD}$，再由△ADF∽△BCE得到DF=$\frac{AD•DF}{BC}$，接着根据等腰三角形的性质由AB=AC，AD⊥BC得CD=$\frac{1}{2}$BC，所以DE=2DF，于是得到DF=EF；
（3）如图3，设EF=x，则DF=EF=x，在Rt△AHF中利用∠EAF=30°可得AF=2EF=2x，AE=$\sqrt{3}$EF=$\sqrt{3}$x，则在Rt△ADE中由勾股定理计算出AD=$\sqrt{7}$x，接着证明Rt△ADE∽Rt△ACD，利用相似比计算出AC=$\frac{7\sqrt{3}x}{3}$，则CE=AC-AE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x，于是利用△ADF∽△BCE得BC=$\frac{4\sqrt{21}}{3}$x，BE=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$x，则BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$x，根据等腰三角形的性质有AS平分∠BAE，则根据三角形角平分线定理可计算出$\frac{BS}{SE}$=$\frac{7}{3}$，所以BS=$\frac{7}{10}$BE=$\frac{28\sqrt{3}}{15}$x，然后在Rt△DBS中利用余弦的定义求解．

解答 （1）证明：如图1，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，即∠1+∠EDC=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠RDC+∠C=90°，
∴∠1=∠C，
∵AH⊥BE，
∴∠SAH+∠ASH=90°，
而∠2+∠BSD=90°，∠BSD=∠ASH，
∴∠SAH=∠2，
∴△ADF∽△BCE；
（2）证明：如图2，
∵∠DCE=∠ACD，
∴Rt△CDE∽Rt△CAD，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{CE}{CD}$，
∴DE=$\frac{AD•CE}{CD}$，
∵△ADF∽△BCE，
∴$\frac{AD}{BC}$=$\frac{DF}{CE}$，
∴DF=$\frac{AD•DF}{BC}$，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE=$\frac{AD•CE}{\frac{1}{2}BC}$=2DF，
∴DF=EF；
（3）解：如图3，设EF=x，则DF=EF=x，
在Rt△AHF中，∵∠EAF=30°，
∴AF=2EF=2x，AE=$\sqrt{3}$EF=$\sqrt{3}$x，
在Rt△ADE中，AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}x）^{2}+（2x）^{2}}$=$\sqrt{7}$x，
∵∠DAE=∠CAD，
∴Rt△ADE∽Rt△ACD，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$，即$\frac{\sqrt{7}x}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{7}x}$，解得AC=$\frac{7\sqrt{3}x}{3}$，
∴CE=AC-AE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x，
∵△ADF∽△BCE，
∴$\frac{AD}{BC}$=$\frac{DF}{CE}$=$\frac{AF}{BE}$，即$\frac{\sqrt{7}x}{BC}$=$\frac{x}{\frac{4\sqrt{3}}{3}x}$=$\frac{2x}{BE}$，
∴BC=$\frac{4\sqrt{21}}{3}$x，BE=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$x，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$x，
∵AS平分∠BAE，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BS}{SE}$，
∴$\frac{BS}{SE}$=$\frac{\frac{7\sqrt{3}}{3}x}{\sqrt{3}x}$=$\frac{7}{3}$，
∴BS=$\frac{7}{10}$BE=$\frac{7}{10}$•$\frac{8\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{28\sqrt{3}}{15}$x，
在Rt△DBS中，cos∠SBD=$\frac{BD}{BS}$=$\frac{\frac{2\sqrt{21}}{3}x}{\frac{28\sqrt{3}}{15}x}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，
即cos∠EBC=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了等腰三角形的性质和解直角三角形．