Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为，其中正确结论的个数为（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图象可知当x=3时，y>0，可判断②；由OA=OC，且OA<

1，可判断③；把 代入方程整理可得ac2-bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案.

解：由图象开口向下，可知a<0，

与y轴的交点在x轴的下方，可知c<0，

又对称轴方程为x=2，所以，所以b>0，

∴abc>0，故①正确；

由图象可知当x=3时，y>0，

∴9a+3b+c>0，故②错误；

由图象可知OA<1，

∵OA=OC，

∴OC<1，即-c<1，c>-1，故③正确：

假设方程的一个根为x=，把x=代入方程可得 ，

整理可得ac-b+1=0，

两边同时乘c可得ac2-bc+c=0，即方程有一个根为x=-c，

由②可知-c=OA，而x=OA是方程的根，

∴x=-c是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个；

故答案为C.