Question

如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC上一动点（不与B、C重合），作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）当点D在BC上运动时∠EDF的大小______（填“变大”“变小”“不变”）；
（2）当AB=10cm时，四边形AEDF是周长是______cm；
（3）点D在边BC上移动的过程中，DE+DF与AB之间始终存在什么关系？写出你的想法，并说明理由．

Answer 1

解：（1）如图，∵DE∥AC，DF∥AB，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴∠EDF=∠A，即∠EDF是定值．
故填：不变；

（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥AB，
∴∠B=∠CDE，
∴CE=DE，
同理可得BF=DF，
∴四边形DEAF的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC，
∵AB=AC=10cm，
∴四边形DEAF的周长=10+10=20（cm）．
故填：20；

（3）∵四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF，
又∵AB=AC=10，
∴∠B=∠C，
∵DF∥AB，
∴∠CDF=∠B，
∴∠CDF=∠C，
∴DF=CF，
∴AC=AF+FC=DE+DF=10．
分析：（1）易证四边形AEDF是平行四边形，则平行四边形的对角相等，即∠A=∠EDF；
（2）根据等角对等边可得∠B=∠C，再根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠CDE，然后根据等角对等边可得CE=DE，同理可得BF=DF，然后求出四边形DEAF的周长=AB+AC，代入数据进行计算即可得解；
（3）由四边形AEDF是平行四边形，得DE=AF再由等腰三角形的性质及平行线可得DF=CF，进而可求出其结论．
点评：本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．