Question

如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．
（1）求证：OP=OQ；
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．

Answer 1

分析：（1）本题需先根据四边形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠PDO=∠QBO，再根据O为BD的中点得出△POD≌△QOB，即可证出OP=OQ．
（2）本题需先根据已知条件得出∠A的度数，再根据AD=8厘米，AB=6厘米，得出BD和OD的长，再根据四边形PBQD是菱形时，证出△ODP∽△ADB，即可求出t的值，判断出四边形PBQD是菱形．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，
又∵O为BD的中点，
∴OB=OD，
在△POD与△QOB中，
∵

∠PDO=∠QBO OB=OD ∠POD=∠QOB

∴△POD≌△QOB（ASA），
∴OP=OQ；

（2）解：PD=8-t，
∵四边形PBQD是菱形，
∴PD=BP=8-t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB²+AP²=BP²，
即6²+t²=（8-t）²，
解得：t=

7

4

，
即运动时间为

7

4

秒时，四边形PBQD是菱形．

点评：本题主要考查了矩形的性质，在解题时要注意与全等三角形、矩形的知识点结合起来是解本题的关键．