Question

已知n是自然数，而n²-19n+91的值是完全平方数，求n．

Answer 1

【答案】分析：根据n²-19n+91=（n-9）²+（10-n），可分两种情况：①当n＞10时（n²-19n+19）不会成为完全平方数；②当n≤10时，（n²-19n+91）才是完全平方数；从而得出n的值为9或10．
解答：解：若（n²-19n+91）处在两个相邻整数的完全平方数之间，则它的取值便固定了．
∵n²-19n+91=（n-9）²+（10-n）
当n＞10时，（n-10）²＜n²-19n+19＜（n-9）²
∴当n＞10时（n²-19n+19）不会成为完全平方数
∴当n≤10时，（n²-19n+91）才是完全平方数
经试算，n=9和n=10时，n²-19n+91是完全平方数．
所以满足题意的值有：n=9和n=10共2个．
点评：本题考查了完全平方数的应用，是重点内容，要熟练掌握．