Question

已知等边三角形△ABC和点P，过点P作三边AB、AC、BC的平行线分别交AC、BC、AB于F、G、E，如图①，点P在BC边上可得PE+PF+PG=BC．当点P在△ABC内部时（如图②），点P在△ABC外部时如图③，这两种情况下是否还存在PE+PF+PG=BC的结论？若成立请给予证明，若不成立，那么PE、PF、PG与BC又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需证明．

Answer 1

解：（1）如图②，延长FP，与BC交于点D，
∵等边三角形△ABC，
∴∠A=∠B=∠C=60°
∵PE∥BC，PG∥AC，PF∥AB，
∴∠A=∠B=∠C=∠PGD=∠PDG=∠AEP=∠CFP=60°，EP=BD，
∴△PDG为等边三角形，四边形PECG为等腰梯形，
∴PG=DG，PE=BD，PF=CG，
∵BC=BD+DG+CG，
∴BC=PE+PF+PG，

（2）如图③，点P在△ABC外部时，PE+PF+PG=BC的结论不成立，
PE、PF、PG与BC的关系为：PE+PG-PF=BC．

分析：（1）如图②，延长FP，与BC交于点D，即FD∥AB，由等边三角形△ABC，同时PE∥BC，PG∥AC，PF∥AB，即可推出∠A=∠B=∠C=∠PGD=∠PDG=∠AEP=∠CFP=60°，即可确定PG=DG，PE=BD，PF=CG，由BC=BD+DG+CG，即可推出BC=PE+PF+PG；
（2）如图③，作EH∥AC，交BG于点H，由等边三角形的性质和平行线的性质，以及等腰梯形的性质即可推出PE=HG，PG=EH=BH，PF=CG，即可推出PE+PG=BG，BG=BC+PF，通过等量代换即可推出PE+PG-PF=BC．
点评：本题主要考查等边三角形的性质，平行线的性质，等腰梯形的判定及性质，关键在于结合图形正确地作出辅助线，推出相等的角和边．