分析 (1)由弦切角定理得出∠PAB=∠D,由∠PAB=∠DAB,得出∠D=∠DAB,即可得出结论;
(2)连接AC,先证明AC是⊙O的直径,再由三角函数求出PB,由勾股定理求出PA,证明△PAC∽△PBA,得出对应边成比例求出AC,即可得出⊙O的半径.
解答 (1)证明:∵PA是⊙O的切线,
∴∠PAB=∠D,
∵∠PAB=∠DAB,
∴∠D=∠DAB,
∴AB=BD;
(2)解:连接AC,如图所示:
∵AB⊥PC,
∴∠ABP=∠ABC=90°,
∴AC是⊙O的直径,
∵AB=8,tan∠P=$\frac{AB}{PB}$=$\frac{4}{3}$,
∴PB=6,
∴PA=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10,
∵PA是⊙O的切线,
∴∠PAC=90°,
∴∠PAC=∠ABP=90°,
又∵∠P=∠P,
∴△PAC∽△PBA,
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{PA}{PB}$,
即$\frac{AC}{8}=\frac{10}{6}$,
解得:AC=$\frac{40}{3}$,
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{20}{3}$,
即⊙O的半径为$\frac{20}{3}$.
点评 本题考查了切线的性质、弦切角定理、三角函数、勾股定理、相似三角形的判定与性质;熟练掌握切线的性质和圆的有关定理,并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.
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