Question

5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高线，EF，
AD交于点G．
（1）求证：AE=AF；
（2）若EF=6，AD=8，求四边形AEDF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD垂直平分EF，再根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．

解答 （1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高线，
∴DE=DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF；

（2）解：∵AE=AF，
∴点A在EF的垂直平分线上，
∵DE=DF，
∴点D在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF，
∴四边形AEDF的面积=$\frac{1}{2}$AD•EF=$\frac{1}{2}$×8×6=24．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，难点在于（2）熟练掌握对角线互相垂直的四边形的面积的求解．