Question

19．如图，BC=2，A为半径为1的⊙B上一点，连接AC，在AC上方作一个正六边形ACDEFG，连接BD，则BD的最大值为$2\sqrt{3}+1$．

Answer 1

分析 由正六边形的性质得出AC=CD，∠ACD=120°，把△ABC和⊙B绕点C旋转120°得△DHC和⊙H，BH的延长线与⊙H的交点为M，作CN⊥BM于N，则BM的长度就是DB达到的最大值，∠BCH=120°，CH=CB=2，BN=HN，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠B=∠CHB=30°，由直角三角形的性质得出CN=$\frac{1}{2}$BC=1，由勾股定理得出BN=$\sqrt{B{C}^{2}-C{N}^{2}}$=$\sqrt{3}$，得出BH=2BN=2$\sqrt{3}$，求出BM=BH+HM=2$\sqrt{3}$+1即可．

解答 解：∵六边形ACDEFG是正六边形，
∴AC=CD，∠ACD=（6-2）×180°÷6=120°，
把△ABC和⊙B绕点C旋转120°得△DHC和⊙H，BH的延长线与⊙H的交点为M，
作CN⊥BM于N，如图所示：
则BM的长度就是DB达到的最大值，∠BCH=120°，CH=CB=2，BN=HN，
∴∠B=∠CHB=（180°-120°）÷2=30°，
∴CN=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴BN=$\sqrt{B{C}^{2}-C{N}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴BH=2BN=2$\sqrt{3}$，
∴BM=BH+HM=2$\sqrt{3}$+1，
即BD的最大值为2$\sqrt{3}$+1，
故答案为：2$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；熟练掌握正六边形的性质和旋转的性质是解决问题的关键．