Question

8．已知方程2x²-7x+2=0的两个实数根为α，β，求以α+$\frac{1}{β}$，$β+\frac{1}{α}$为根的一元二次方程．

Answer 1

分析 首先利用根与系数的关系得出α+β=$\frac{7}{2}$，αβ=1，进一步求得α+$\frac{1}{β}$与$β+\frac{1}{α}$的和与积，得出以α+$\frac{1}{β}$，$β+\frac{1}{α}$为根的一元二次方程即可．

解答 解：∵方程2x²-7x+2=0的两个实数根为α，β，
∴α+β=$\frac{7}{2}$，αβ=1，
∴α+$\frac{1}{β}$+$β+\frac{1}{α}$=α+β+$\frac{α+β}{αβ}$=7，
（α+$\frac{1}{β}$）（$β+\frac{1}{α}$）=αβ+2+$\frac{1}{αβ}$=4，
∴以α+$\frac{1}{β}$，$β+\frac{1}{α}$为根的一元二次方程为x²-7x+4=0．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．