证明:过△ABC的顶点A,B,C分别引OA,OB,OC的垂线,设这三条垂线的交点为A
1,B
1,C
1(如图),考虑四边形AOBC
1.
因为∠OAC
1=∠OBC
1=90°,∠AOB=120°,
所以∠C
1=60°.同理,∠A
1=∠B
1=60°.
所以△A
1B
1C
1为正三角形.
设P到△A
1B
1C
1三边B
1C
1,C
1A
1,A
1B
1的距离分别为ha,hb,hc,且△A
1B
1C
1的边长为a,高为h.
由等式S
△A1B1C1=S
△PB1C1+S
△PC1A1+S
△PA1B1
知
h•a=
h
a•a+
h
b•a+
h
c•a,
所以h=h
a+h
b+h
c.
这说明正△A
1B
1C
1内任一点P到三边的距离和等于△A
1B
1C
1的高h,这是一个定值,所以OA+OB+OC=h=定值.
显然,PA+PB+PC>P到△A1B1C1三边距离和,
所以PA+PB+PC>h=OA+OB+OC.
分析:过△ABC的顶点A,B,C分别引OA,OB,OC的垂线,设这三条垂线的交点为A
1,B
1,C
1(如图),即可判定△A1B1C1为正三角形,
设P到△A
1B
1C
1三边B
1C
1,C
1A
1,A
1B
1的距离分别为ha,hb,hc,且△A
1B
1C
1的边长为a,高为h,则可以证明以h=h
a+h
b+h
c,根据PA+PB+PC>P到△A1B1C1三边距离之和,即可解题.
点评:本题考查了等边三角形的证明,考查了正三角形内任一点P到三边的距离和等于该等边三角形的高h,本题中求证正三角形内任一点P到三边的距离和等于该等边三角形的高h是解题的关键.