Question

20．如图，E、F分别是?ABCD的边BC、AD上的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当∠BAC=90° 时，四边形AECF是菱形．

Answer 1

分析 （1）首先根据平行四边形的性质1可得AD=BC，AB=CD，∠B=∠D，再根据中点的性质可得BE=DF，然后利用SAS判定△ABE≌△CDF即可；
（2）首先证明四边形AECF是平行四边形，再添加∠BAC=90°，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得AE=EC，从而可判定四边形AECF是菱形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D，
∵E、F分别是?ABCD的边BC、AD上的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC，DF=$\frac{1}{2}$AD，
∴BE=DF．
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠B=∠D}\\{EB=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）当∠BAC=90°时，四边形AECF是菱形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，E为BC中点，
∴AE=EC=$\frac{1}{2}$BC，
∴四边形AECF是菱形，
故答案为：90．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质和菱形的判定，关键是掌握平行四边形对边相等，对角相等，邻边相等的平行四边形是菱形．