Question

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-3m）（其中m＞0），顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；
（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；
（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）利用交点式求出抛物线的解析式；
（2）如答图2，求出S的表达式，再根据二次函数的性质求出最值；
（3）△ACD与△BOC相似，且△BOC为直角三角形，所以△ACD必为直角三角形．本问分多种情形，需要分类讨论，避免漏解．

解答：解：（1）∵抛物线与x轴交点为A（-3，0）、B（1，0），
∴抛物线解析式为：y=a（x+3）（x-1）．
将点C（0，-3m）代入上式，得a×3×（-1）=-3m，∴m=a，
故抛物线的解析式为：y=m（x+3）（x-1）=mx²+2mx-3m．

（2）当m=2时，C（0，-6），抛物线解析式为y=2x²+4x-6，则P（x，2x²+4x-6）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有

-3k+b=0 b=-6

，解得

k=-2 b=-6

，
∴y=-2x-6．
如答图①，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，则F（x，-2x-6）．

∴PF=yF-yP=（-2x-6）-（2x²+4x-6）=-2x²-6x．
S=S_△PFA+S_△PFC=

1

2

PF•AE+

1

2

PF•OE=

1

2

PF•OA=

1

2

（-2x²-6x）×3
∴S=-3x²-9x=-3（x+

3

2

）²+

27

4

故S与x之间的关系式为S=-3x²-9x，当x=-

3

2

时，S有最大值为

27

4

．

（3）∵y=mx²+2mx-3m=m（x+1）²-4m，
∴顶点D坐标为（-1，-4m）．
如答图②，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=4m，OE=1，AE=OA-OE=2；
过点D作DF⊥y轴于点F，则DF=1，CF=OF-OC=4m-3m=m．

由勾股定理得：
AC²=OC²+OA²=9m²+9；
CD²=CF²+DF²=m²+1；
AD²=DE²+AE²=16m²+4．
∵△ACD与△BOC相似，且△BOC为直角三角形，
∴△ACD必为直角三角形．
i）若点A为直角顶点，则AC²+AD²=CD²，
即：（9m²+9）+（16m²+4）=m²+1，
整理得：m²=-

1

2

，
∴此种情形不存在；
ii）若点D为直角顶点，则AD²+CD²=AC²，
即：（16m²+4）+（m²+1）=9m²+9，
整理得：m²=

1

2

，
∵m＞0，∴m=

2

2

．
此时，可求得△ACD的三边长为：AD=2

3

，CD=

6

2

，AC=

3 6

2

；
△BOC的三边长为：OB=1，OC=

3 2

2

，BC=

22

2

．
两个三角形对应边不成比例，不可能相似，
∴此种情形不存在；
iii）若点C为直角顶点，则AC²+CD²=AD²，
即：（9m²+9）+（m²+1）=16m²+4，
整理得：m²=1，
∵m＞0，∴m=1．
此时，可求得△ACD的三边长为：AD=2

5

，CD=

2

，AC=3

2

；
△BOC的三边长为：OB=1，OC=3，BC=

10

．
∵

AD

BC

=

AC

OC

=

CD

OB

=

2

，
∴满足两个三角形相似的条件．∴m=1．
综上所述，当m=1时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似．

点评：本题是二次函数综合题型，考查了函数的图象与性质、待定系数法、相似、勾股定理、图形面积计算等知识点，难度不大．第（2）问重点考查了图形面积的计算方法；第（3）问重点考查了分类讨论的数学思想．