Question

【题目】如图所示，直线，垂足为点是直线上的两点，且．直线绕点按逆时针方向旋转，旋转角度为．

（1）当时，在直线上找点，使得是以为顶角的等腰三角形，此时_____．

（2）当在什么范围内变化时，直线上存在点，使得是以为顶角的等腰三角形，请用不等式表示的取值范围：_________．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）45°≤≤135°且≠90°

【解析】

（1）先求出旋转后与的夹角，然后根据题意以点B为圆心，的长为半径作弧，与直线的交点P即为所求，利用锐角三角函数即可求出BC和OC，再利用勾股定理求出PC，从而求出结论；

（2）当由图可知：当BC≤AB且A、B、P不共线时，直线上存在点，使得是以为顶角的等腰三角形，求出当BC=AB=时，的度数，然后根据题意即可求出结论．

解：（1）当时，此时与的夹角为90°－60°=30°

以点B为圆心，的长为半径作弧，与直线的交点P即为所求，即BP=AB=，过点B作BC⊥，

BC=OB·sin30°=1＜BP，OC=OB·cos30°=

∴在直线上存在两个P点满足题意

根据勾股定理PC=

∴OP=OC－PC或OP=OC＋PC

∴OP=或

故答案为：或；

（2）当由图可知：当BC≤AB且A、B、P不共线时，直线上存在点，使得是以为顶角的等腰三角形，

当BC=AB=时，

sin∠BOC=

∴∠BOC=45°

当点B在直线右侧时，

90°－∠BOC=45°；

当点B在直线左侧时，

90°＋∠BOC=135°；

∵BC≤AB且A、B、P不共线时

∴45°≤≤135°且≠90°

故答案为：45°≤≤135°且≠90°．