【题目】如图所示,直线,垂足为点是直线上的两点,且.直线绕点按逆时针方向旋转,旋转角度为.
(1)当时,在直线上找点,使得是以为顶角的等腰三角形,此时_____.
(2)当在什么范围内变化时,直线上存在点,使得是以为顶角的等腰三角形,请用不等式表示的取值范围:_________.
【答案】(1)或;(2)45°≤≤135°且≠90°
【解析】
(1)先求出旋转后与的夹角,然后根据题意以点B为圆心,的长为半径作弧,与直线的交点P即为所求,利用锐角三角函数即可求出BC和OC,再利用勾股定理求出PC,从而求出结论;
(2)当由图可知:当BC≤AB且A、B、P不共线时,直线上存在点,使得是以为顶角的等腰三角形,求出当BC=AB=时,的度数,然后根据题意即可求出结论.
解:(1)当时,此时与的夹角为90°-60°=30°
以点B为圆心,的长为半径作弧,与直线的交点P即为所求,即BP=AB=,过点B作BC⊥,
BC=OB·sin30°=1<BP,OC=OB·cos30°=
∴在直线上存在两个P点满足题意
根据勾股定理PC=
∴OP=OC-PC或OP=OC+PC
∴OP=或
故答案为:或;
(2)当由图可知:当BC≤AB且A、B、P不共线时,直线上存在点,使得是以为顶角的等腰三角形,
当BC=AB=时,
sin∠BOC=
∴∠BOC=45°
当点B在直线右侧时,
90°-∠BOC=45°;
当点B在直线左侧时,
90°+∠BOC=135°;
∵BC≤AB且A、B、P不共线时
∴45°≤≤135°且≠90°
故答案为:45°≤≤135°且≠90°.
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【题目】如图,某公路局施工队要修建一条东西方向的公路,已知点周围100米范围内为古建筑保护群,在上的点处测得在的北偏东方向上,从向东走400米到达处,测得在点的北偏西方向上.(参考数据:,)
(1)是否穿过古建筑保护群?为什么?
(2)若修路工程顺利进行,要使修路工程比原计划提前5天完成,需将原定的工作效率提高,则原计划完成这项工程需要多少天?
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【题目】如图,在中,,,动点从点出发沿运动,动点从点出发沿运动,如果、两点同时出发,的速度为1个单位/秒.在上的速度为1个单位/秒,在上的速度为个单位/秒.设出发时间为,记的面积的函数图象为.
(1)当时,的长是_________;
(2)若直线与有两个交点,则的取值范围为_________.
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【题目】无锡有丰富的旅游产品.一天某校九年级(1)班的同学就部分旅游产品的喜爱情况随机抽取了的2%来锡游客进行问卷调查,要求游客在列举的旅游产品中选出最喜爱的产品,且只能选一项,以下是同学们整理的不完整的统计图:
根据以上信息完成下列问题:
(1)请将条形统计图补充完整.
(2)在扇形统计图中,A部分所占的圆心角是 度.
(3)根据调查结果估计这天在所有的游客中最喜爱惠山泥人的约有多少人.
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【题目】南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α,大桥主架的顶端D的仰角为β,已知测量点与大桥主架的水平距离AB=a,则此时大桥主架顶端离水面的高CD为( )
A.asinα+asinβB.acosα+acosβC.atanα+atanβD.
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【题目】如图①,已知点、在直线上,且于点,且,以为直径在的左侧作半圆于点,且.
(1)若半圆上有一点,则的最大值为__________;
(2)向右沿直线平移得到.
①如图②,若截半圆的的长为,求的度数;
②当半圆与的边相切时,求平移距离.
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【题目】某学生为测量一棵大树AH及其树叶部分AB的高度,将测角仪放在F处测得大树顶端A的仰角为30°,放在G处测得大树顶端A的仰角为60°,树叶部分下端B的仰角为45°,已知点F、G与大树底部H共线,点F、G相距15米,测角仪高度为1.5米.求该树的高度AH和树叶部分的高度AB.
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【题目】某超市用1200元购进甲乙两种文具,甲种文具进价12元/个,售价为15元/个.乙种文具进价10元/个,售价为12元/个.全部售完后获利270元.
(1)求该超市购进甲乙两种文具各多少个?
(2)若该超市以原价再次购进这两种文具,且购进甲种文具数量不变,乙种文具购进数量是第一次的2倍,乙种文具按原售价出售,甲种文具降价销售,当两种文具销售完毕后,要使再次购进的文具获利不少于340元,甲种文具每个最低售价应为多少元?
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【题目】如图所示,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,且OC⊥AB,过点C的弦CD与线段OB相交于点E,满足∠AEC=65°,连接AD,则∠BAD等于( )
A.20°B.25°C.30°D.32.5°
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