分析 (1)根据两角对应相等两个三角形全等进行判定即可.
(2)利用相似三角形性质求出BD即可解决问题.
(3)分两种情形①如图1中,当点P在射线CM上时,只有EC=EP这种情形,先证明△ACD∽△BCA,得到AC2=CD•CB,然后在RT△DEC中利用勾股定理即可解决.
②如图2中,当点P在射线CN上时,只有CP=CE这种情形,只要证明PC=CE=CA即可解决问题.
解答 (1)①证明:∵∠DAP=∠BAC,
∴∠BAD=∠CAP,
又∵∠ACM=∠B,
∴△ABD∽△ACP;
②由①得:△ABD∽△ACP,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CP}$,即$\frac{10}{6}=\frac{BD}{x}$,
解得:BD=$\frac{5}{3}$x,
∴y=$\frac{1}{2}$•$\frac{5x}{3}$×6=5x.
当点D与C重合时,BD=8=$\frac{5}{3}$x,
x=$\frac{24}{5}$,
∴0<x≤$\frac{24}{5}$.
(2)①如图1中,当点P在射线CM上时,
∵△ABD∽△ACP,
∴∠ADB=∠APC,
∴A、D、C、P四点共圆,
∴∠APD=∠ACD=90°,
∴∠PEC=∠DCE+∠EDC>90°,
∵△PEC是等腰三角形,
∴只有EC=EP,设EC=EP=x,
∴∠ECP=∠EPC=∠EAD=∠EDA,
∴AD∥PC,
∴∠DAC=∠ACP=∠ABC,∠ACD=∠ACB,
∴△ACD∽△BCA,
∴AC2=CD•CB,
∴62=CD•8,
∴CD=$\frac{9}{2}$,
在RT△DEC中,∵∠DCE=90°,CE=x,DE=6-x,
∴(6-x)2=($\frac{9}{2}$)2+x2,
∴x=$\frac{21}{16}$.
∴CE=$\frac{21}{16}$.
②如图2中,当点P在射线CN上时,
∵△ABD∽△ACP,
∴∠APC=∠ADB,
∴A、D、P、C四点共圆,
∴∠APD=∠ACB=90°
如果EC=EP,则∠∠EPC=∠ECP=∠EAD=∠EDA,PC∥AD,这个显然不可能,所以EC≠EP,
如果PC=PE,则∠PCE=∠PEC=∠ADE,所以AD=AE,因为AP⊥DE,所以PA平分∠DAE,显然不可能,∴PC≠PE,
只有CP=CE,∴∠CPE=∠E,∵∠CPE+∠APC=90°,∠E+∠PAC=90°,
∴∠PAC=∠APC,
∴PC=AC=CE=6,
综上所述:EC=6或$\frac{21}{16}$时,△PCE是等腰三角形.
点评 本题考查相似三角形综合题、四点共圆、勾股定理、直角三角形斜边中线性质等知识,解题的关键是利用四点共圆证明AP⊥DP,学会分类讨论的思想,属于中考常考题型.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\sqrt{5}$ | B. | $\frac{13}{6}$ | C. | 1 | D. | $\frac{5}{6}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
人 数 | 1 | 3 | 5 | 70 | 10 | 8 | 3 |
金额(元) | 200000 | 150000 | 80000 | 15000 | 10000 | 8000 | 5000 |
A. | 极差是195000 | B. | 中位数是15000 | C. | 众数是15000 | D. | 平均数是15000 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{0.8x-200}{200}$×100%=10% | B. | $\frac{200-0.8x}{200}$×100%=10% | ||
C. | $\frac{0.8x-200}{x}$×100%=10% | D. | $\frac{200-0.8x}{x}$×100%=10% |
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