Question

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C₁的顶点为P（-3，-$\frac{9}{2}$），且过点O（0，0）．
（1）写出抛物线C₁与x轴的另一个交点A的坐标；
（2）将抛物线C₁向右平移3个单位、再向上平移4.5个单位得抛物线C₂，求抛物线C₂的解析式；
（3）直接写出阴影部分的面积S．

Answer 1

分析 （1）由对称性可得点A的坐标；
（2）先根据顶点P的坐标和O的坐标计算抛物线C₁的解析式，再根据上→加，下→减，左→加，右→减的原则表示抛物线C₂的解析式；
（3）由对称性可知：S_阴影部分=S_△OPQ，先计算Q的坐标，表示PQ的长，可得面积．

解答 解：（1）由题意可知：抛物线C₁的对称轴是：直线x=-3，
由对称性得：A（-6，0）；
（2）设抛物线C₁的解析式为：y₁=a（x+3）²-$\frac{9}{2}$，
把（0，0）代入得：0=a（0+3）²-$\frac{9}{2}$，
a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线C₁的解析式为：y₁=$\frac{1}{2}$（x+3）²-$\frac{9}{2}$，
由平移可得：抛物线C₂的解析式：y₂=$\frac{1}{2}$（x+3-3）²-$\frac{9}{2}$+$\frac{9}{2}$，
即抛物线C₂的解析式：y₂=$\frac{1}{2}$x²；
（3）由抛物线C₂的解析式：y₂=$\frac{1}{2}$x²，可知，抛物线C₂过原点O，
当x=-3时，y₂=$\frac{1}{2}$×（-3）²=$\frac{9}{2}$，
∴Q（-3，$\frac{9}{2}$），
∵P（-3，-$\frac{9}{2}$），
∴PQ=$\frac{9}{2}$+$\frac{9}{2}$=9，P与Q关于x轴对称，
∴OQ=OP，
∴S_阴影部分=S_△OPQ=$\frac{1}{2}$×3×PQ=$\frac{3}{2}$×9=$\frac{27}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的平移规律、抛物线与x轴的交点、对称性、三角形面积以及二次函数的性质，本题熟练掌握二次函数的平移原则是关键．