Question

9．如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，延长BC至F使CF=CE，联接DF，延长BE交DF于点G．求证：BG•EG=DG²．

Answer 1

分析 先利用正方形的性质得到CB=CD，∠BCD=90°，则利用“SAS”可判断△BCE≌△DCF，所以∠CBE=∠CDF，加上∠DBE=∠CBE，则∠DBE=∠CDF，于是根据相似三角形的判定方法可判断△GED∽△GDB，然后利用相似比即可得到结论．

解答 证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD，∠BCD=90°，
在△BCE和△DCF中
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CD}\\{∠BCE=∠DCF}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠CBE，
∴∠DBE=∠CDF，
∵∠EGD=∠DGB，∠EDG=∠DBG，
∴△GED∽△GDB，
∴DG：BG=EG：DG，
∴BG•EG=DG²．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了正方形的性质．