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【题目】“转化”是数学中的一种重要思想,即把陌生的问题转化成熟悉的问题,把复杂的问题转化成简单的问题,把抽象的问题转化为具体的问题.

已知:如图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”,试解答下列问题:

问题一在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系   

问题二:在图2中,若∠D=40°,∠B=36°,∠DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N,试求P的度数;

问题三:在图3中,已知AP、CP分别平分∠BAM、∠BCD,请问P与∠B、∠D之间存在着怎样的数量关系?并说明理由.

问题四:在图4中,已知AP的反向延长线平分∠EAB,CP平分∠DCF,请直接写出∠P与∠B、∠D之间的数量关系

【答案】(1) (2)38°(3) (4)

【解析】分析:1)利用三角形的内角和定理表示出∠AOD与∠BOC再根据对顶角相等可得∠AOD=BOC然后整理即可得解

2)根据(1)的关系式求出∠OCBOAD再根据角平分线的定义求出∠DAMPCM然后利用8字形的关系式列式整理即可得解

3根据8字形数量关系有:∠P+∠PCN=∠D+∠DAN=∠D+180°-∠MAN①,∠B+2PCN=∠D+180°-2MAN②,由①和②即可得到结论

4)根据8字形数量关系有:∠P+∠PAN=∠B+∠BCN,∠D+∠DAN=∠B+∠BCO即∠P+180°-∠GAN=∠B+180°-∠FCN①,∠D+180°-2GAN =∠B+180°-2FCN②,由①②可得结论

详解:(1)在△AODAOD=180°﹣AD.在BOCBOC=180°﹣BC

∵∠AOD=BOC(对顶角相等)180°﹣AD=180°﹣BC∴∠A+∠D=B+∠C

2∵∠D=40°,B=36°,∴∠OAD+40°=OCB+36°,∴∠OCBOAD=4°.

APCP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线∴∠DAM=OADPCM=OCB

又∵∠DAM+∠D=PCM+∠P∴∠P=DAM+∠DPCM=OADOCB+∠D=×(﹣4°)+40°=38°;

3根据8字形数量关系有:∠P+∠PCN=∠D+∠DAN=∠D+180°-∠MAN①,∠B+∠BCN=∠D+∠DAO=∠D+180°-∠MAB,∴∠B+2PCN=∠D+180°-2MAN②,由①和②得:∠D+∠B=2P-180°;

4)根据8字形数量关系有:∠P+∠PAN=∠B+∠BCN,∠D+∠DAN=∠B+∠BCO

∴∠P+180°-∠GAN=∠B+180°-∠FCN①,∠D+180°-∠EAN=∠B+180°-∠FCO,∴∠D+180°-2GAN =∠B+180°-2FCN

由①②得:2P-∠B=∠D

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【题目】如图,一只甲虫在5×5的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动.它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫,规定:向上向右走为正,向下向左走为负.如果从AB记为:A→B(+1,+4),从BA记为:B→A(-1,-4),其中第一个数表示左右方向,第二个数表示上下方向.

(1)图中A→C( ),B→C( ),C→ (+1, );

(2)若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为(+2,+2),(+2,-1),(-2,+3),(-1,-2),请在图中标出P的位置;

(3)若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D,请计算该甲虫走过的路程;

(4)若图中另有两个格点M、N,且M→A(3-a,b-4),M→N(5-a,b-2),则N→A应记为什么?

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【题目】将一副三角板按如图放置,则下列结论

①如果∠2=30°,则有ACDE;

②∠BAE+CAD =180°;

③如果BCAD,则有∠2=45°;

④如果∠CAD=150°,必有∠4=C;

正确的有( )

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

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【题目】甲数是乙数的2倍,甲比乙多(

A.50%B.100%C.200%D.150%

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【题目】如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线,∠B=42°,∠DAE=18°.

(1)若设∠DAC=x°,则∠BAC= °,∠C= °;(用含x的代数式表示)

(2)求∠C的度数;

(3)请直接写出∠AEC与∠B、∠C之间的关系式.

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【题目】如图,在平面直角坐标系中,将一块腰长为 的等腰直角三角板ABC放在第二象限,且斜靠在两坐标轴上,直角顶点C的坐标为(﹣1,0),点B在抛物线y=ax2+ax﹣2上.

(1)点A的坐标为 , 点B的坐标为
(2)抛物线的解析式为
(3)设(2)中抛物线的顶点为D,求△DBC的面积;
(4)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,请直接写出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为P,其图像与x轴有两个交点A(﹣m,0),B(1,0),交y轴于点C(0,﹣3am+6a),以下说法:
①m=3;
②当∠APB=120°时,a=
③当∠APB=120°时,抛物线上存在点M(M与P不重合),使得△ABM是顶角为120°的等腰三角形;
④抛物线上存在点N,当△ABN为直角三角形时,有a≥
正确的是( )
A.①②
B.③④
C.①②③
D.①②③④

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【题目】如图,ABC在直角坐标系中,

(1)ABC中任意一点M(a,b)经过平移后的对应点为M′(a+2,b+1),将ABC作同样的平移,得到A′B′C′,写出A′、B′、C′的坐标,并在图中画出平移后图形.

(2)求出三角形ABC的面积.

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【题目】计算(a23,正确结果是( )

A.a5B.a6

C.a8D.a9

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