Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O是Rt△ABC的内切圆，其半径为1，E是切点，∠BOC=105°，求AE的长．

Answer 1

分析 首先根据切线长的性质以及切线的性质得出BD的长，进而得出BC的长以及AB的长，即可得出AE的长．

解答 解：连接OD、OE．
则OD=OE=1，
∵O是△ABC的内切圆圆心
∴OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
即∠OBD=∠OBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，且∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACB，
又∵∠ACB=90°，
∴∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∵OD、OE是过切点的半径，
∴OD⊥BC 且OE⊥AB，∴∠OCD+∠COD=90°，
∴∠COD=∠OCD=45°，∴OD=CD=1，
∵∠COB=105°，
∴∠DOB=∠COB-∠COD=60°，
在Rt△OBD中，tan∠BOD=$\frac{DB}{OD}$$\frac{BE}{1}$=$\sqrt{3}$，
∴DB=$\sqrt{3}$，
∠OBD+∠BOD=90°，
∴∠OBD=30°，
∵∠DOB=∠OBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴∠ABC=60°，
∴BC=BD+CD=1+$\sqrt{3}$
在Rt△ABC中，
AB=2+2$\sqrt{3}$，
在Rt△OBE中，
∵OE=1，∠OBE=30°，
∴BE=$\frac{1}{tan30°}$=$\sqrt{3}$，
∴AE=2+$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数的应用，正确得出∠ABC的度数以及BC的长是解题关键．