【题目】阅读材料: 小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如:,善于思考的小明进行了以下探索:
设(其中
均为整数),则有
.
∴.这样小明就找到了一种把部分
的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)当均为正整数时,若
,用含m、n的式子分别表示
,得
= ,
= ;
(2)利用所探索的结论,找一组正整数,填空: +
=( +
)2;
(3)若,且
均为正整数,求
的值.
【答案】(1);
;(2)4,2,1,1(答案不唯一);(3)
=7或13
【解析】分析:(1)由a+b=(m+n
)2,展开比较系数可得答案;
(2)取m=1,n=1,可得a和b的值,可得答案;
(3)由题意得m和n的方程,解方程可得m和n,可得a值.
详解:(1)∵a+b=(m+n
)2,
∴a+b=m2+3n2+2mn
,
∴a=m2+3n2,b=2mn.
故答案为:m2+3n2,2mn.
(2)设m=1,n=1,
∴a=m2+3n2=4,b=2mn=2.
故答案为4、2、1、1.
(3)由题意,得:
a=m2+3n2,b=2mn
∵4=2mn,且m、n为正整数,
∴m=2,n=1或者m=1,n=2,
∴a=22+3×12=7,或a=12+3×22=13.
点睛:本题主要考查二次根式的混合运算,完全平方公式,解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则.
【题型】解答题
【结束】
28
【题目】如图1,已知点A(a,0),B(0,b),且a、b满足,
□ABCD的边AD与y轴交于点E,且E为AD中点,双曲线经过C、D两点.
(1)若点D点纵坐标为t,则C点纵坐标为 (含t的代数式表示),k的值为 ;
(2)点P在双曲线上,点Q在y轴上,若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,试求满足要求的所有点P、Q的坐标;
(3)以线段AB为对角线作正方形AFBH(如图3),点T是边AF上一动点,M是HT的中点,MN⊥HT,交AB于N,连接FN,当T在AF上运动时,试判断∠ATH与∠AFN之间的数量关系,并说明理由。
【答案】(1)t-3,6;(2)(1,6),
(0,9);;
(-1,-6),
(0,-9);
(-1,-6),
(0,3);(3)∠ATH+∠AFN=135°.
【解析】分析:(1)先根据非负数的性质求出a、b的值,故可得出A、B两点的坐标,设D(1,t),由DC∥AB,可知C(2,t-2),再根据反比例函数的性质求出t的值即可;
(2)由(1)知k=4可知反比例函数的解析式为y=,再由点P在双曲线y=
上,点Q在y轴上,设Q(0,y),P(x,
),再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值,故可得出P、Q的坐标;
(3)连NH、NT、NF,易证NF=NH=NT,故∠NTF=∠NFT=∠AHN,∠TNH=∠TAH=90°,MN=HT由此即可得出结论.
详解:(1)∵,且∴a+1=0,a+b+4=0,解得:a=1;b=3,
∴A(-1,0),B(0,-3),∵E为AD中点,∴xD=1,设D(1,t),
又∵DC∥AB,∴C(2,t-3),∴t=2t-6,∴t=6,∴k=6;
(2)∵由(1)知k=6,
∴反比例函数的解析式为,∵点P在双曲线
上,点Q在y轴上,
∴设Q(0,y),P(,
①AB为边时:
如图1所示: 若ABPQ为平行四边形,则,
解得x=1,此时(1,6),
(0,9);
如图2所示;若ABQP为平行四边形,则,
解得x=-1,此时(-1,-6),
(0,-9); /p>
②如图3所示;当AB为对角线时:AP=BQ,且AP∥BQ;
∴,解得x=-1,∴
(-1,-6),
(0,3);
故(1,6),
(0,9);;
(-1,-6),
(0,-9);
(-1,-6),
(0,3);
(3)连NH、NT、NF,∵MN是线段HT的垂直平分线,
∴NT=NH,∵四边形AFBH是正方形,∴∠ABF=∠ABH,
在△BFN与△BHN中,∵BF=BH,∠ABF=∠ABH,BN=BN,
∴△BFN≌△BHN,∴NF=NH=NT,∴∠NTF=∠NFT=∠AHN,
四边形ATNH中,∠ATN+∠NTF=180°,
而∠NTF=∠NFT=∠AHN,
所以,∠ATN+∠AHN=180°,
所以,四边形ATNH内角和为360°,
所以∠TNH=360°-180°-90°=90°.
∠ATH+∠AFN=135°.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF=90°.求证:BE=CF.
(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH=90°, EF=4.求GH的长.
(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH=90°,EF=4. 直接写出下列两题的答案:
①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长;
②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】用纸在某誊印社复印文件,复印页数不超过
时每页收费
元;复印页数超过
时,超过部分每页收费
元.在某图书馆复印同样的文件,不论复印多少页,每页收费
元,如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知函数(x>0)的图象经过点A,B,点A的坐标为(1,2).过点A作AC∥y轴,AC=1(点C位于点A的下方),过点C作CD∥x轴,与函数的图象交于点D,过点B作BE⊥CD,垂足E在线段CD上,连接OC,OD.
(1)求△OCD的面积;
(2)当BE=AC时,求CE的长.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)根据函数(x>0)的图象经过点A(1,2),求函数解析式,再有AC∥y轴,AC=1求出C点坐标,然后根据CD∥x轴,求D点坐标,从而可求CD长,最后利用三角形面积公式求出△OCD的面积.
(2)通过BE=AC,求得B点坐标,进而求得CE长.
试题解析:解:(1)∵函数(x>0)的图象经过点A(1,2),
∴,即k=2.
∵AC∥y轴,AC=1,∴点C的坐标为(1,1).
∵ CD∥x轴,点D在函数图像上,∴点D的坐标为(2,1).
∴.
(2)∵BE=AC,∴BE=
.
∵BE⊥CD,∴点B的纵坐标是.∴点B的横坐标是
.
∴CE=.
考点:1.反比例函数综合题;3.曲线上点的坐标与方程的关系;3.三角形的面积.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】阅读材料: 小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如:,善于思考的小明进行了以下探索:
设(其中
均为整数),则有
.
∴.这样小明就找到了一种把部分
的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)当均为正整数时,若
,用含m、n的式子分别表示
,得
= ,
= ;
(2)利用所探索的结论,找一组正整数,填空: +
=( +
)2;
(3)若,且
均为正整数,求
的值.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在一个不透明的袋子中装有20个球,其中红球6个,白球和黑球若干个,每个球除颜色外完全相同.
(1)小明通过大量重复试验(每次将球搅匀后,任意摸出一个球,记下颜色后放回)发现,摸出的黑球的频率在0.4附近摆动,请你估计袋中黑球的个数.
(2)若小明摸出的第一个球是白球,不放回,从袋中余下的球中再任意摸出一个球,摸出白球的概率是多少?
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【题目】如图,四边形ABCD是矩形,∠EDC=∠CAB,∠DEC=90°.
(1)求证:AC∥DE;
(2)过点B作BF⊥AC于点F,连接EF,试判别四边形BCEF的形状,并说明理由.
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【题目】如图,已知数轴上点A表示的数为-7,点B表示的数为5,点C到点A,点B的距离相等,动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,设运动的时间为(
>0)秒
(1)点C表示的数是_________.
(2)求当等于多少秒时,点P到达点B处.
(3)点P表示的数是_________(用含有的代数式表示).
(4)求当t等于多少秒时,PC之间的距离为2个单位长度(只列式,不计算).
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知,如图,二次函数y=ax2+2ax﹣3a(a≠0)图象的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B在A点右侧),点H、B关于直线l: 对称.
(1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上;
(2)求二次函数解析式;
(3)过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连接HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.
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