Question

2．已知在Rt△ABC中，AC⊥BC，AD是∠BAC的角分线，以AB上的一点O为圆心，AD为弦作⊙O．
（1）在图中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若AC=3，BC=4，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）因为AD是弦，所以圆心O即在AB上，也在AD的垂直平分线上；
（2）因为D在圆上，所以只要能证明OD⊥BC就说明BC为⊙O的切线；
（3）根据∠B的正切值，先求出BC、AB的值，再结合三角形相似就可求出圆的半径的长度．

解答 （1）解：如图，

（2）相切；
证明：连结OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA
∵AD是BAC的角平分线，则∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC，
∵AC⊥BC，则∠DAC+∠ADC=90°，
∴∠ODA+∠ADC=90°，即∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
即BC是⊙O的切线．
（3）设⊙O的半径为x，
∵AC=3，BC=4，
∵AC⊥BC，所以AB=5
又OD⊥BC，则OD∥BC，
∴△BOD∽△BAC，
∴$\frac{OD}{AC}$=$\frac{BO}{AB}$，即$\frac{x}{3}$=$\frac{5-x}{5}$，
解得x=$\frac{15}{8}$，
∴⊙O的半径为$\frac{15}{8}$．

点评 本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．