Question

7．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点A（2，2），过点A作AB⊥x轴，交x轴于点B，在x轴上有一点C，点C在点B的右侧，过点C作直线OA的垂线l，在反比例函数图象上有一点D，点B和点D关于直线l对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求BC的长度．

Answer 1

分析 （1）将点A（2，2）代入y=$\frac{k}{x}$，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）由A（2，2），可得直线OA的解析式为y=x，根据互相垂直的两条直线斜率之积为-1，可设直线l的解析式为y=-x+b（b＞2），则C（b，0），BC=b-2．由点B和点D关于直线l对称，得出CD=CB=b-2，那么D（b，b-2），再将D点坐标代入y=$\frac{4}{x}$，得到b（b-2）=4，解方程即可．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点A（2，2），
∴k=2×2=4，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$；

（2）∵A（2，2），
∴直线OA的解析式为y=x，
∵过点C作直线OA的垂线l，
∴可设直线l的解析式为y=-x+b（b＞2），则C（b，0），BC=b-2．
∵点B和点D关于直线l对称，
∴CD=CB=b-2，
∴D（b，b-2），
∵D在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，
∴b（b-2）=4，
解得b₁=1+$\sqrt{5}$，b₂=1-$\sqrt{5}$（舍去），
∴BC=b-2=1+$\sqrt{5}$-2=$\sqrt{5}$-1．

点评 本题考查了待定系数法求反比例函数、正比例函数的解析式，轴对称的性质，函数图象上点的坐标特征，互相垂直的两条直线斜率之积为-1，设直线l的解析式为y=-x+b，用含b的代数式表示D点坐标是解题的关键．