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精英家教网如图,已知O是矩形ABCD内一点,且OA=1,OB=3,OC=4,那么OD的长为(  )
A、2
B、2
2
C、2
3
D、3
分析:过O作EF⊥AD于E,交BC于F;过O作GH⊥DC于G,交AB于H,设CF=x,FB=y,AH=s,HB=t,则可得x2-y2=16-9,t2-s2=32-12=8,整理得OD2=x2+s2=(y2+t2)-1=8,即可解题.
解答:精英家教网解:如图,过O作EF⊥AD于E,交BC于F;过O作GH⊥DC于G,交AB于H
设CF=x,FB=y,AH=s,HB=t,
所以OG=x,DG=s
所以OF2=OB2-BF2=OC2-CF2
即42-x2=32-y2
所以x2-y2=16-9=7(1)
同理有OH2=12-s2=32-t2
所以t2-s2=32-12=8(2)
又因为OH2+HB2=OB2即y2+t2=9
(1)-(2)得(x2+s2)-(y2+t2)=-1
所以OD2=x2+s2=(y2+t2)-1=9-1=8
所以OD=2
2

故选 B.
点评:本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质,考查了勾股定理在直角三角形中的运用,本题中整理计算OD的长度是解题的关键.
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(1)①若连接OQ、PB,试判断四边形OPBQ的形状,并说明理由;
②若连接PQ、OB,经过几秒?使得QP⊥OB;
(2)点K在x轴上,经过几秒时?△PQK是等边三角形,并求点K的坐标.
(3)点E为OC边上的一动点,试说明PE+QE的最小值是一个定值,并求出这个值.

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