Question

如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．点A、C的坐标分别是（-1，0）、（0，2）．
（1）求此抛物线对应的函数解析式；
（2）若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值．
（3）试探究：若点Q是抛物线的对称轴x=1上一动点，当点Q在什么位置时△BCQ是等腰三角形．在图中作出符合条件的点Q的位置（保留作图痕迹），并至少求出其中一个点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的对称性，可根据对称轴解析式和A点坐标求出B点坐标，然后根据A、B、C三点坐标用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）P点在抛物线上方，且三角形ABP面积最大，那么P点纵坐标最大，因此P点即为抛物线的顶点，据此可求出P点坐标，进而可根据三角形的面积公式求出此时三角形ABP的面积．
（3）本题有三种情况：
①QC=QB，此时Q点为线段BC垂直平分线与抛物线对称轴的交点．
②QC=BC，以C为圆心，以BC长为半径作弧，交抛物线对称轴于两点，这两点均符合Q点的条件．
③QB=BC，以B为圆心，BC长为半径作弧，交抛物线对称轴于两点，这两点也都符合Q点的条件．因此综合三种情况共有五个符合条件的Q点，可先设出Q点坐标，然后用坐标系两点间的距离公式表示出BC、BQ、CQ的长，然后根据三种情况中不同的等量关系来求出不同的Q点坐标．

解答：解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，且A（-1，0）；
∴B（3，0）；
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）；
已知抛物线过C（0，2），则有：
2=a（0+1）（0-3），
即a=-

2

3

∴函数解析式y=-

2

3

（x+1）（x-3）=-

2

3

（x-1）²+

8

3

；

（2）当△ABP面积最大，且P在x轴上方时，此时P点为抛物线顶点．
由（1）知：P（1，

8

3

）．
∴Smax=

1

2

AB•y_P=

1

2

×4×

8

3

=

16

3

．

（3）点Q共有五个，其中一个点Q的坐标如：Q（1，2+2

3

）．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、等腰三角形的判定等知识．要注意（3）题中要将所有的情况都考虑到．