Question

如图，在△ABC中，D为AB边上一点，∠A=36°，AC=BC，AC² =AB×AD.    
（1）试证明：△ADC和△BDC都是等腰三角形；    
（2）若AB=l，求AC的长；
（3）请你在下图的基础上构造一个等腰梯形，使得该梯形连同它的两条对角线得到8个等腰三角形（标明各角的度数）．

Answer 1

解：(1)在△ABC中，AC= BC，
∴∠B=∠A= 36°，∠ACB= 108°．   
 在△ABC与△ACD中，∠A= 36°，AC²=AB·AD，
∴△ABC∽△ACD．    
∴∠ACD=∠B=36°．    
∴∠CDB= 72°，∠DCB= 108°-36°=72°．    
∴△ADC和△BDC都是等腰三角形．    
(2)设AC=x，则x²-1×（1-x），即x²+x-l=0．    
解得：x₁=，x₂=（舍去）．   
 ∴AC的长为
(3)如图所示．