Question

【题目】请阅读下列材料：

问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．

小刚同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PC是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠APB=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，进而求出等边△ABC的边长为，问题得到解决.

请你参考小刚同学的思路，探究并解决下列问题：

如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=2，PC=．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．

Answer 1

【答案】∠BPC=135°，正方形边长为．

【解析】

首先根据旋转的性质得出△BPC≌△BP′A，利用AP′=PC=，BP=BP′=2得出△AP′P是直角三角形，再利用过点B作BE⊥AP′交AP′的延长线于点E，利用勾股定理得出AB的长．

解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，

则△BPC≌△BP′A．

∴AP′=PC=，BP=BP′=2．

连结P P′，

在Rt△BP′P中，

∵BP=BP′=2，∠PBP′=90°，

∴P P′=2，∠BP′P=45°．

在△AP′P中，AP′=，P P′=2，AP=，

∵（）2+（2）2=（）2，即AP′2+PP′2=AP2．

∴△AP′P是直角三角形，即∠A P′P=90°．

∴∠AP′B=135°．

∴∠BPC=∠AP′B=135°．

如图，过点B作BE⊥AP′交AP′的延长线于点E．

∴∠EP′B=45°．

∴EP′=BE=．

∴AE=2．

∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=．

∴∠BPC=135°，正方形边长为．