Question

如图，菱形OABC边长为5，面积为20，且OC边在y轴上，AB边与x轴交于点D，双曲线y=

m

x

(m≠0)经过的A，直线BC与x轴交于点E．
（1）求双曲线和直线BC的解析式；
（2）若在双曲线上有一点F，使S_△ODF=S_△OBE，求点F的坐标．

Answer 1

分析：（1）由菱形的边长相等得到AB的长，根据菱形的面积公式求出AB边上高OD的长，在直角三角形AOD中，利用勾股定理求出AD的长，确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例函数解析式，由OC的长求出C的坐标，由AB-AD求出BD的长，确定出B的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b，将B与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线BC的解析式；
（2）连接OB，对于直线BC，令y=0求出x的值，确定出OE的长，根据B纵坐标的绝对值，利用三角形的面积公式求出三角形OBE的面积，即为三角形ODF的面积，由OD的长求出F的纵坐标，代入反比例解析式中求出F的横坐标，即可确定出F的坐标．

解答：解：（1）∵菱形OABC边长为5，面积为20，
∴AB=OA=OC=5，AB•OD=20，即5OD=20，解得：OD=4，
在Rt△AOD中，OA=5，OD=4，
根据勾股定理得：AD=

OA2-OD2

=3，
∴A（-4，3），
将x=-4，y=3代入反比例解析式得：3=

m

-4

，即m=-12，
则反比例解析式为y=-

12

x

；
∵BD=AB-AD=5-3=2，OD=4，
∴B（-4，-2），又C（0，-4），
代入直线BC解析式y=kx+b中得：

-4k+b=-2 b=-4

，
解得：

k=- 1 2 b=-4

，
则直线BC解析式为y=-

1

2

x-4；
（2）连接OB，如图所示，
对于直线BC：y=-

1

2

x-4，令y=0求出x=-8，
∴E（-8，0），即OE=8，
∵BD=2，
∴S_△ODF=S_△OBE=

1

2

OE•BD=

1

2

×8×2=8，
∴S_△ODF=

1

2

•OD•|y_F纵坐标|=8，即

1

2

×4×|y_F纵坐标|=8，
∴|y_F纵坐标|=4，即y_F纵坐标=±4，
将y=4代入反比例解析式得：x=-3，将y=-4代入反比例解析式得：x=3，
则满足题意F坐标为（-3，4）或（3，-4）．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：菱形的性质，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，以及勾股定理，是一道中档题．