分析 延长CD交AE于F,由折叠的性质得出CF⊥AE,AC=EC,得出∠AFC=90°,AF=EF,由勾股定理求出AB,由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=$\frac{1}{2}$AB=AD,得出∠DCA=∠DAC,证出△AFC∽△BCA,得出对应边成比例$\frac{AF}{BC}=\frac{AC}{AB}$,求出AF,即可得出AE的长.
解答 解:如图所示:延长CD交AE于F,
由折叠的性质得:CF⊥AE,AC=EC,
∴∠AFC=90°,AF=EF,
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$,
∵D是斜边AB的中点,
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=AD,
∴∠DCA=∠DAC,
∵∠AFC=∠ACB=90°,
∴△AFC∽△BCA,
∴$\frac{AF}{BC}=\frac{AC}{AB}$,
即$\frac{AF}{2}=\frac{4}{2\sqrt{5}}$,
∴AF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$,
∴AE=2AF=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$;
故答案为:$\frac{8\sqrt{5}}{5}$.
点评 本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质;熟练掌握翻折变换的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.
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