已知四边形ABCD中.AB∥CD.∠A=∠D=90°.AD=CD=4.AB=7．现有M.N两点同时以相同的速度从A点出发.点M沿A-B-C-D方向前进.点N沿A-D-C-B方向前进.直到两点相遇时停止．设点M前进的路程为t.△AMN的面积为S．(1)试确定△AMN存在时.路程t的取值范围．(2)请你求出面积S关于路程t的函数．(3)当点M前进的路� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．已知四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠D=90°，AD=CD=4，AB=7．现有M、N两点同时以相同的速度从A点出发，点M沿A-B-C-D方向前进，点N沿A-D-C-B方向前进，直到两点相遇时停止．设点M前进的路程为t，△AMN的面积为S．
（1）试确定△AMN存在时，路程t的取值范围．
（2）请你求出面积S关于路程t的函数．
（3）当点M前进的路程为多少时，△AMN的面积最大？最大是多少？

分析（1）作CE⊥AB于点E，求得BC的长，进而求得四边形ABCD的周长，则t的范围即可求得；
（2）分成0＜t≤5，5＜t＜7，7≤t＜10三种情况进行讨论，分别求得函数解析式；
（3）根据（2）中的每种情况分别求得最大值，即可求解．

解答解：（1）作CE⊥AB于点E．
△BCE中，CE=AD=4，BE=AB-CD=7-4=3．
则BC=$\sqrt{C{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
则四边形ABCD的周长是4+4+7+5=20，则t的范围是0＜t≤10；
（2）当0＜t≤5时，N在AD上，M在AB上，如图1．
则AN=AM=t，则S=$\frac{1}{2}$t²；
当5＜t＜7时，N在DC上，M在AB上，如图2．
S=$\frac{1}{2}$×4×t=2t；
当7≤t＜10时，N和M都在BC上，如图3．
作CE⊥AB于点E，作AF⊥BC于点F．
∵在△BCE和△BAF中，∠B=∠B，∠CEA=∠BFA，
∴△BCE∽△BAF，
∴$\frac{AF}{CE}=\frac{AB}{BC}$=$\frac{7}{5}$，
∴AF=$\frac{7}{5}$CE=$\frac{28}{5}$．
又∵MN=10-2t，
∴S=$\frac{1}{2}$MN•AF=$\frac{1}{2}$×$\frac{28}{5}$（20-2t），
即S=-$\frac{28}{5}$t+56；
（3）当0＜t≤5时，S的最大值是$\frac{1}{2}$×5²=$\frac{25}{2}$，
当5＜t＜7时，当t=7时，S=14，则S＜14；
当7≤t＜10，S=-$\frac{28}{5}$t+56中，当t=7时，S=$\frac{84}{5}$．
总之，S的最大值是$\frac{84}{5}$．

点评本题考查了梯形的计算以及相似三角形的判定与性质，注意到分情况进行讨论是解决本题的关键．

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