Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（3，0），B（-1，0），C（0，3）．
（1）求此函数的解析式；
（2）用配方法（写出配方过程）将此函数化为y=a（x+m）²+k的形式，并写出其顶点坐标；
（3）在线段AC上是否存在点P（不含A、C两点），使△ABP与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了抛物线图象上三点的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）用配方法将抛物线解析式化为顶点式，然后求出其顶点坐标；
（3）可分两种情况：
①△ABP∽△ABC，此时AB：AB=AP：AC，P、C重合，此种情况不合题意；
②△ABP∽△ACB，得AB：AC=AP：AB，由此可求出AP的长；
易求得直线AC的解析式，可根据直线AC的解析式设出P点的坐标，再由AP的长求出P点的坐标．

解答：解：（1）由题意得：

9a+3b+c=0 a-b+c=0 c=3

，（2分）
解得：

a=-1 b=2 c=3

；（1分）
∴此函数解析式为y=-x²+2x+3；（1分）

（2）y=-x²+2x+3=-（x²-2x+1）+3+1（2分）=-（x-1）²+4；（1分）
∴顶点为（1，4）；（1分）

（3）假设存在点P，使△ABP与△ABC相似，
则

AB

AC

=

AB

AP

或

AB

AC

=

AP

AB

；
当

AB

AC

=

AB

AP

时，AP=AC；（不合题意，舍去）（1分）
当

AB

AC

=

AP

AB

时，AP=

8 2

3

；（1分）
由题意易得直线AC的解析式为：y=-x+3，
设P（x，-x+3），其中0＜x＜3，
则

(x-3)2+(-x+3)2

=

8 2

3

，
解得：x1=

1

3

，x2=

17

3

（舍去）；（1分）
∴P(

1

3

，

8

3

)．（1分）

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、抛物线顶点坐标的求法、相似三角形的判定和性质等知识；需注意的是（3）题在不确定相似三角形对应边和对应角的情况下，要分类讨论，以免漏解．