Question

如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（-1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（　　）

• A、2
• B、1
• C、2-

  2

  2

• D、2-

  2

Answer 1

分析：由于OA的长为定值，若△ABE的面积最小，则BE的长最短，此时AD与⊙相切；可连接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长，即可得到△ADC的面积；易证得△AEO∽△ACD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△AOE的面积，进而可得出△AOB和△AOE的面积差，由此得解．

解答：解：若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD；
Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；
由勾股定理，得：AD=2

2

；
∴S_△ACD=

1

2

AD•CD=

2

；
易证得△AOE∽△ADC，
∴

S△AOE

S△ADC

=（

OA

AD

）²=（

2

2 2

）²=

1

2

，
即S_△AOE=

1

2

S_△ADC=

2

2

；
∴S_△ABE=S_△AOB-S_△AOE=

1

2

×2×2-

2

2

=2-

2

2

；
另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！
故选C．

点评：此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断出△BE面积最小时AD与⊙C的位置关系是解答此题的关键．