Question

5．如图，在平面直角坐标系中，A（2，2），B（-1，0），C （3，0）
（1）求△ABC面积；
（2）在y轴上存在一点D，使得△AOD的面积是△ABC面积的2倍，求出点D的坐标；
（3）在平面内有点P（3，m），是否存在m值，使△AOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据点B、C的坐标即可得出线段BC的长度，再结合点A的纵坐标利用三角形的面积公式即可求出△ABC面积；
（2）设点D的坐标为（x，0），由三角形的面积公式结合△AOD的面积是△ABC面积的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）假设存在，过点P作PE⊥AO于点E，延长OA交直线x=3于点F，由点O、A的坐标利用待定系数法求出直线OA的解析式，进而即可求出点F的坐标，由点F的坐标结合PE⊥AO即可找出△PEF为等腰直角三角形，由此可得出PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PF，再根据△AOP的面积等于△ABC面积的2倍即可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出m值．

解答 解：（1）∵点B（-1，0），C（3，0），
∴BC=3-（-1）=4．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•y_A=$\frac{1}{2}$×4×2=4．

（2）设点D的坐标为（x，0），
∵△AOD的面积是△ABC面积的2倍，
∴S_△AOD=$\frac{1}{2}$OD•y_A=|x|=2S_△ABC=8，
∴x=±8．
∴点D的坐标为（-8，0）和（8，0）．

（3）假设存在，过点P作PE⊥AO于点E，延长OA交直线x=3于点F，如图所示．
由点O（0，0）、A（2，2）利用待定系数法可得出直线OA的解析式为y=x，
联立直线OA和CP成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴点F（3，3），
∴OC=CF=3，
∴∠OFC=45°．
∵PE⊥OA，
∴△PEF为等腰直角三角形，
∴PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PF．
∵点O（0，0），点A（2，2），
∴OA=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∵S_△AOP=$\frac{1}{2}$OA•PE=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$|3-m|=2S_△ABC=8，
∴|3-m|=8，
解得：m=-5或m=11．
故存在m值，使△AOP的面积等于△ABC面积的2倍，此时m的值为-5或11．

点评 本题考查了坐标与图形的性质、待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的面积以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）熟练掌握三角形的面积公式；（2）根据面积间的关系找出关于x的一元一次方程；（3）根据面积间的关系找出关于m的一元一次方程．