Question

如图，P是∠BAC平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D，以P为圆心，PD为半径作圆．
（1）AB与⊙P相切吗？为什么？
（2）若平行于PD的直线MN与⊙P相切于T，并分别交AB、AC于M、N，设PD=2，∠BAC=60°，求线段MT的长（结果保留根号）．

Answer 1

分析：（1）利用角平分线的性质得出PD=PG，再利用切线的判定定理得出即可；
（2）结合已知画出图形，进而利用勾股定理得出MT即可．

解答：解：（1）相切，
证明：过点P作PG⊥AB于点G，
∵P是∠BAC平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D，
∴PD=PG，
∵以P为圆心，PD为半径作圆，
∴PG=PD等于圆的半径，
∴AB与⊙P相切．    

（2）根据已知画出图形：
∵平行于PD的直线MN与⊙P相切于T，PD⊥AC，
∴MN⊥AN，TN=DN，MT=MG，AG=AD，
∵PD=2，∠BAC=60°，
∴∠PAD=30°，
∴PA=4，
∴AG=AD=2

3

，
DN=NT=2，
设MT=MG=x，
∴AN²+MN²=AM²，
∴（2

3

+2）²+（2+x）²=（x+2

3

）²，
解得：x=4+2

3

，
当如图M′N′位置，设M′T′=y，即可得出：
∴（2

3

-2）²+（2+y）²=（2

3

-y）²，
解得：y=4-2

3

，
∴线段MT的长为：4-2

3

或4+2

3

．

点评：此题主要考查了切线的性质定理与判定定理以及勾股定理的应用，根据已知画出图形得出AN²+MN²=AM²是解题关键．